Sr Examen

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cos(x)*cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ cos(x)*cos(x)

Gráfico de la función y = cos(x)*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x)*cos(x)
f(x)=cos⁡(x)cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} 
f = cos(x)*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)cos⁡(x)=0\cos{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=−67.5442421675773x_{1} = -67.5442421675773
x2=−39.2699083866483x_{2} = -39.2699083866483
x3=86.393797888273x_{3} = 86.393797888273
x4=10.9955743696636x_{4} = 10.9955743696636
x5=−32.9867227513827x_{5} = -32.9867227513827
x6=42.4115007291722x_{6} = 42.4115007291722
x7=54.9778711883962x_{7} = 54.9778711883962
x8=1.5707965454425x_{8} = 1.5707965454425
x9=−98.96016883042x_{9} = -98.96016883042
x10=−48.6946860920117x_{10} = -48.6946860920117
x11=−39.2699081528781x_{11} = -39.2699081528781
x12=67.5442422779275x_{12} = 67.5442422779275
x13=−1.57079642969308x_{13} = -1.57079642969308
x14=−54.9778716831146x_{14} = -54.9778716831146
x15=541.924732890135x_{15} = 541.924732890135
x16=51.8362788999928x_{16} = 51.8362788999928
x17=−4.7123889912442x_{17} = -4.7123889912442
x18=23.5619451230057x_{18} = 23.5619451230057
x19=92.6769830795146x_{19} = 92.6769830795146
x20=−20.4203520321877x_{20} = -20.4203520321877
x21=4.71238876848081x_{21} = 4.71238876848081
x22=−54.9778713137198x_{22} = -54.9778713137198
x23=58.1194644379895x_{23} = 58.1194644379895
x24=−76.9690198771149x_{24} = -76.9690198771149
x25=−86.393797765473x_{25} = -86.393797765473
x26=−29.8451300963672x_{26} = -29.8451300963672
x27=48.6946859238715x_{27} = 48.6946859238715
x28=64.4026493086922x_{28} = 64.4026493086922
x29=−42.4115006098842x_{29} = -42.4115006098842
x30=80.1106131434937x_{30} = 80.1106131434937
x31=26.7035373461441x_{31} = 26.7035373461441
x32=61.2610566752601x_{32} = 61.2610566752601
x33=95.8185760590309x_{33} = 95.8185760590309
x34=−64.4026491876462x_{34} = -64.4026491876462
x35=−61.2610562242523x_{35} = -61.2610562242523
x36=−92.6769830239371x_{36} = -92.6769830239371
x37=−89.5353907467661x_{37} = -89.5353907467661
x38=70.6858345016621x_{38} = 70.6858345016621
x39=−26.7035375427973x_{39} = -26.7035375427973
x40=−45.5530935883361x_{40} = -45.5530935883361
x41=−76.9690202568697x_{41} = -76.9690202568697
x42=83.2522052340866x_{42} = 83.2522052340866
x43=73.8274274795554x_{43} = 73.8274274795554
x44=17.2787598502655x_{44} = 17.2787598502655
x45=−70.685834448838x_{45} = -70.685834448838
x46=36.1283156002139x_{46} = 36.1283156002139
x47=98.9601683381274x_{47} = 98.9601683381274
x48=−17.2787598091171x_{48} = -17.2787598091171
x49=39.2699081179815x_{49} = 39.2699081179815
x50=−73.8274272800405x_{50} = -73.8274272800405
x51=−98.960168684456x_{51} = -98.960168684456
x52=76.9690200400775x_{52} = 76.9690200400775
x53=−95.8185758681287x_{53} = -95.8185758681287
x54=80.1106126771746x_{54} = 80.1106126771746
x55=−48.6946858738636x_{55} = -48.6946858738636
x56=−83.2522055415057x_{56} = -83.2522055415057
x57=−7.85398149857354x_{57} = -7.85398149857354
x58=89.5353908552844x_{58} = 89.5353908552844
x59=39.2699084246933x_{59} = 39.2699084246933
x60=61.2610569989704x_{60} = 61.2610569989704
x61=−92.6769831823972x_{61} = -92.6769831823972
x62=−26.7035372990183x_{62} = -26.7035372990183
x63=−70.6858346386357x_{63} = -70.6858346386357
x64=54.9778714849733x_{64} = 54.9778714849733
x65=−80.1106125795659x_{65} = -80.1106125795659
x66=23.5619449395428x_{66} = 23.5619449395428
x67=−10.9955741902138x_{67} = -10.9955741902138
x68=−10.9955745350309x_{68} = -10.9955745350309
x69=83.2522055730903x_{69} = 83.2522055730903
x70=−32.9867231091652x_{70} = -32.9867231091652
x71=29.845130320338x_{71} = 29.845130320338
x72=98.9601685932308x_{72} = 98.9601685932308
x73=−36.1283154192437x_{73} = -36.1283154192437
x74=−98.9601684414698x_{74} = -98.9601684414698
x75=−58.1194639993376x_{75} = -58.1194639993376
x76=76.9690197631883x_{76} = 76.9690197631883
x77=14.1371671048484x_{77} = 14.1371671048484
x78=−61.2610569641117x_{78} = -61.2610569641117
x79=−14.1371668392726x_{79} = -14.1371668392726
x80=7.85398174058521x_{80} = 7.85398174058521
x81=76.9690207492347x_{81} = 76.9690207492347
x82=−4.71238872430683x_{82} = -4.71238872430683
x83=45.553093700501x_{83} = 45.553093700501
x84=−23.5619450090417x_{84} = -23.5619450090417
x85=20.4203521497111x_{85} = 20.4203521497111
x86=−17.2787590276524x_{86} = -17.2787590276524
x87=32.986722928111x_{87} = 32.986722928111
x88=32.9867226137576x_{88} = 32.9867226137576
x89=10.9955740392793x_{89} = 10.9955740392793
x90=−51.8362786897497x_{90} = -51.8362786897497
x91=17.2787595624179x_{91} = 17.2787595624179
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)*cos(x).
cos⁡(0)cos⁡(0)\cos{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

 -pi     
(----, 0)
  2      

 pi    
(--, 0)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−π2,0]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(sin⁡2(x)−cos⁡2(x))=02 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)cos⁡(x))=⟨0,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x)cos⁡(x))=⟨0,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)cos⁡(x)=cos⁡(x)cos⁡(x)\cos{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
- Sí
cos⁡(x)cos⁡(x)=−cos⁡(x)cos⁡(x)\cos{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x)*cos(x)
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