Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
3/(x^2+1)
-
Expresiones idénticas
- sin(x)/sin(x+pi/ cuatro)
- seno de (x) dividir por seno de (x más número pi dividir por 4)
- seno de (x) dividir por seno de (x más número pi dividir por cuatro)
- sinx/sinx+pi/4
- sin(x) dividir por sin(x+pi dividir por 4)
-
Expresiones semejantes
- (sin(x))/(sin(x+(pi/4)))
- sin(x)/sin(x-pi/4)
- sinx/sin(x+pi/4)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)+x
- sin(x)*sin(3*x)
- sinx+cos^2x
- sin(x)*cos(x)^(2)
- sin(x-pi/3)*(-2)-1
- Seno sin
- sin(x)+x
- sin(x)*sin(3*x)
- sinx+cos^2x
- sin(x)*cos(x)^(2)
- sin(x-pi/3)*(-2)-1
- Número Pi pi
- pi+x
- pix
- pi*(1-x)*tg(pi*x/2)
- pi-arctg((x*10^(-5))/3)
- pi*sqrt(1+8*sin(pi*x/6)^2)/3
Gráfico de la función y = sin(x)/sin(x+pi/4)
Solución
Ha introducido
[src]
sin(x)
f(x) = -----------
/ pi\
sin|x + --|
\ 4 /
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$$
f = sin(x)/sin(x + pi/4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 12.5663706143592$$
$$x_{2} = 53.4070751110265$$
$$x_{3} = -97.3893722612836$$
$$x_{4} = 37.6991118430775$$
$$x_{5} = 97.3893722612836$$
$$x_{6} = 78.5398163397448$$
$$x_{7} = -59.6902604182061$$
$$x_{8} = -65.9734457253857$$
$$x_{9} = 0$$
$$x_{10} = -31.4159265358979$$
$$x_{11} = -50.2654824574367$$
$$x_{12} = -21.9911485751286$$
$$x_{13} = 6.28318530717959$$
$$x_{14} = -34.5575191894877$$
$$x_{15} = -94.2477796076938$$
$$x_{16} = -69.1150383789755$$
$$x_{17} = -15.707963267949$$
$$x_{18} = 21.9911485751286$$
$$x_{19} = 69.1150383789755$$
$$x_{20} = 62.8318530717959$$
$$x_{21} = 50.2654824574367$$
$$x_{22} = 81.6814089933346$$
$$x_{23} = 100.530964914873$$
$$x_{24} = -40.8407044966673$$
$$x_{25} = 9.42477796076938$$
$$x_{26} = -87.9645943005142$$
$$x_{27} = 34.5575191894877$$
$$x_{28} = 65.9734457253857$$
$$x_{29} = -62.8318530717959$$
$$x_{30} = -18.8495559215388$$
$$x_{31} = -28.2743338823081$$
$$x_{32} = -56.5486677646163$$
$$x_{33} = -53.4070751110265$$
$$x_{34} = -37.6991118430775$$
$$x_{35} = -25.1327412287183$$
$$x_{36} = -100.530964914873$$
$$x_{37} = -9.42477796076938$$
$$x_{38} = 40.8407044966673$$
$$x_{39} = -91.106186954104$$
$$x_{40} = -75.398223686155$$
$$x_{41} = 18.8495559215388$$
$$x_{42} = 87.9645943005142$$
$$x_{43} = 59.6902604182061$$
$$x_{44} = -6.28318530717959$$
$$x_{45} = 25.1327412287183$$
$$x_{46} = 47.1238898038469$$
$$x_{47} = 91.106186954104$$
$$x_{48} = 28.2743338823081$$
$$x_{49} = 56.5486677646163$$
$$x_{50} = -43.9822971502571$$
$$x_{51} = -47.1238898038469$$
$$x_{52} = -3.14159265358979$$
$$x_{53} = 31.4159265358979$$
$$x_{54} = 94.2477796076938$$
$$x_{55} = -12.5663706143592$$
$$x_{56} = 75.398223686155$$
$$x_{57} = -72.2566310325652$$
$$x_{58} = -84.8230016469244$$
$$x_{59} = 84.8230016469244$$
$$x_{60} = 72.2566310325652$$
$$x_{61} = -81.6814089933346$$
$$x_{62} = 43.9822971502571$$
$$x_{63} = -78.5398163397448$$
$$x_{64} = 15.707963267949$$
$$x_{65} = 3.14159265358979$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 12.5663706143592$$
$$x_{2} = 53.4070751110265$$
$$x_{3} = -97.3893722612836$$
$$x_{4} = 37.6991118430775$$
$$x_{5} = 97.3893722612836$$
$$x_{6} = 78.5398163397448$$
$$x_{7} = -59.6902604182061$$
$$x_{8} = -65.9734457253857$$
$$x_{9} = 0$$
$$x_{10} = -31.4159265358979$$
$$x_{11} = -50.2654824574367$$
$$x_{12} = -21.9911485751286$$
$$x_{13} = 6.28318530717959$$
$$x_{14} = -34.5575191894877$$
$$x_{15} = -94.2477796076938$$
$$x_{16} = -69.1150383789755$$
$$x_{17} = -15.707963267949$$
$$x_{18} = 21.9911485751286$$
$$x_{19} = 69.1150383789755$$
$$x_{20} = 62.8318530717959$$
$$x_{21} = 50.2654824574367$$
$$x_{22} = 81.6814089933346$$
$$x_{23} = 100.530964914873$$
$$x_{24} = -40.8407044966673$$
$$x_{25} = 9.42477796076938$$
$$x_{26} = -87.9645943005142$$
$$x_{27} = 34.5575191894877$$
$$x_{28} = 65.9734457253857$$
$$x_{29} = -62.8318530717959$$
$$x_{30} = -18.8495559215388$$
$$x_{31} = -28.2743338823081$$
$$x_{32} = -56.5486677646163$$
$$x_{33} = -53.4070751110265$$
$$x_{34} = -37.6991118430775$$
$$x_{35} = -25.1327412287183$$
$$x_{36} = -100.530964914873$$
$$x_{37} = -9.42477796076938$$
$$x_{38} = 40.8407044966673$$
$$x_{39} = -91.106186954104$$
$$x_{40} = -75.398223686155$$
$$x_{41} = 18.8495559215388$$
$$x_{42} = 87.9645943005142$$
$$x_{43} = 59.6902604182061$$
$$x_{44} = -6.28318530717959$$
$$x_{45} = 25.1327412287183$$
$$x_{46} = 47.1238898038469$$
$$x_{47} = 91.106186954104$$
$$x_{48} = 28.2743338823081$$
$$x_{49} = 56.5486677646163$$
$$x_{50} = -43.9822971502571$$
$$x_{51} = -47.1238898038469$$
$$x_{52} = -3.14159265358979$$
$$x_{53} = 31.4159265358979$$
$$x_{54} = 94.2477796076938$$
$$x_{55} = -12.5663706143592$$
$$x_{56} = 75.398223686155$$
$$x_{57} = -72.2566310325652$$
$$x_{58} = -84.8230016469244$$
$$x_{59} = 84.8230016469244$$
$$x_{60} = 72.2566310325652$$
$$x_{61} = -81.6814089933346$$
$$x_{62} = 43.9822971502571$$
$$x_{63} = -78.5398163397448$$
$$x_{64} = 15.707963267949$$
$$x_{65} = 3.14159265358979$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -99.7455667514759$$
$$x_{2} = 73.0420291959627$$
$$x_{3} = -96.6039740978861$$
$$x_{4} = -8.63937979737193$$
$$x_{5} = -24.3473430653209$$
$$x_{6} = -71.4712328691678$$
$$x_{7} = 76.1836218495525$$
$$x_{8} = -30.6305283725005$$
$$x_{9} = -5.49778714378214$$
$$x_{10} = 3.92699081698724$$
$$x_{11} = -62.0464549083984$$
$$x_{12} = -33.7721210260903$$
$$x_{13} = -36.9137136796801$$
$$x_{14} = -87.1791961371168$$
$$x_{15} = 95.0331777710912$$
$$x_{16} = -40.0553063332699$$
$$x_{17} = -58.9048622548086$$
$$x_{18} = 38.484510006475$$
$$x_{19} = -84.037603483527$$
$$x_{20} = 66.7588438887831$$
$$x_{21} = -43.1968989868597$$
$$x_{22} = 51.0508806208341$$
$$x_{23} = 0.785398163397448$$
$$x_{24} = 69.9004365423729$$
$$x_{25} = -27.4889357189107$$
$$x_{26} = 101.316363078271$$
$$x_{27} = 85.6083998103219$$
$$x_{28} = 54.1924732744239$$
$$x_{29} = 13.3517687777566$$
$$x_{30} = 88.7499924639117$$
$$x_{31} = 98.174770424681$$
$$x_{32} = -21.2057504117311$$
$$x_{33} = -68.329640215578$$
$$x_{34} = 10.2101761241668$$
$$x_{35} = -11.7809724509617$$
$$x_{36} = 19.6349540849362$$
$$x_{37} = 41.6261026600648$$
$$x_{38} = -55.7632696012188$$
$$x_{39} = 35.3429173528852$$
$$x_{40} = 82.4668071567321$$
$$x_{41} = -93.4623814442964$$
$$x_{42} = -90.3207887907066$$
$$x_{43} = 44.7676953136546$$
$$x_{44} = -49.4800842940392$$
$$x_{45} = -74.6128255227576$$
$$x_{46} = 32.2013246992954$$
$$x_{47} = -2.35619449019234$$
$$x_{48} = -65.1880475619882$$
$$x_{49} = 57.3340659280137$$
$$x_{50} = 22.776546738526$$
$$x_{51} = 79.3252145031423$$
$$x_{52} = 63.6172512351933$$
$$x_{53} = -46.3384916404494$$
$$x_{54} = 29.0597320457056$$
$$x_{55} = 25.9181393921158$$
$$x_{56} = -52.621676947629$$
$$x_{57} = -14.9225651045515$$
$$x_{58} = 47.9092879672443$$
$$x_{59} = 60.4756585816035$$
$$x_{60} = 16.4933614313464$$
$$x_{61} = -77.7544181763474$$
$$x_{62} = 91.8915851175014$$
$$x_{63} = -80.8960108299372$$
$$x_{64} = 7.06858347057703$$
$$x_{65} = -18.0641577581413$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$
$$\lim_{x \to -0.785398163397448^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) = - \frac{1 \left(1.4142135623731 \sin{\left(0.785398163397448 + 0.25 \pi \right)} \cos{\left(0.785398163397448 + 0.25 \pi \right)} + 1.41421356237309 \sin^{2}{\left(0.785398163397448 + 0.25 \pi \right)}\right)}{\cos^{3}{\left(0.785398163397448 + 0.25 \pi \right)}}$$
$$\lim_{x \to -0.785398163397448^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) = \frac{1 \left(- 1.4142135623731 \sin{\left(0.785398163397448 - 0.25 \pi \right)} \cos{\left(0.785398163397448 - 0.25 \pi \right)} + 1.41421356237309 \cos^{2}{\left(0.785398163397448 - 0.25 \pi \right)}\right)}{\sin^{3}{\left(0.785398163397448 - 0.25 \pi \right)}}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2.35619449019234^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) = \frac{1 \left(1.41421356237309 \sin{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)} \cos{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)} + 1.4142135623731 \cos^{2}{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)}\right)}{\sin^{3}{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)}}$$
$$\lim_{x \to 2.35619449019234^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) = \frac{1 \left(1.41421356237309 \sin{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)} \cos{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)} + 1.4142135623731 \cos^{2}{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)}\right)}{\sin^{3}{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)}}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[101.316363078271, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -99.7455667514759\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -99.7455667514759$$
$$x_{2} = 73.0420291959627$$
$$x_{3} = -96.6039740978861$$
$$x_{4} = -8.63937979737193$$
$$x_{5} = -24.3473430653209$$
$$x_{6} = -71.4712328691678$$
$$x_{7} = 76.1836218495525$$
$$x_{8} = -30.6305283725005$$
$$x_{9} = -5.49778714378214$$
$$x_{10} = 3.92699081698724$$
$$x_{11} = -62.0464549083984$$
$$x_{12} = -33.7721210260903$$
$$x_{13} = -36.9137136796801$$
$$x_{14} = -87.1791961371168$$
$$x_{15} = 95.0331777710912$$
$$x_{16} = -40.0553063332699$$
$$x_{17} = -58.9048622548086$$
$$x_{18} = 38.484510006475$$
$$x_{19} = -84.037603483527$$
$$x_{20} = 66.7588438887831$$
$$x_{21} = -43.1968989868597$$
$$x_{22} = 51.0508806208341$$
$$x_{23} = 0.785398163397448$$
$$x_{24} = 69.9004365423729$$
$$x_{25} = -27.4889357189107$$
$$x_{26} = 101.316363078271$$
$$x_{27} = 85.6083998103219$$
$$x_{28} = 54.1924732744239$$
$$x_{29} = 13.3517687777566$$
$$x_{30} = 88.7499924639117$$
$$x_{31} = 98.174770424681$$
$$x_{32} = -21.2057504117311$$
$$x_{33} = -68.329640215578$$
$$x_{34} = 10.2101761241668$$
$$x_{35} = -11.7809724509617$$
$$x_{36} = 19.6349540849362$$
$$x_{37} = 41.6261026600648$$
$$x_{38} = -55.7632696012188$$
$$x_{39} = 35.3429173528852$$
$$x_{40} = 82.4668071567321$$
$$x_{41} = -93.4623814442964$$
$$x_{42} = -90.3207887907066$$
$$x_{43} = 44.7676953136546$$
$$x_{44} = -49.4800842940392$$
$$x_{45} = -74.6128255227576$$
$$x_{46} = 32.2013246992954$$
$$x_{47} = -2.35619449019234$$
$$x_{48} = -65.1880475619882$$
$$x_{49} = 57.3340659280137$$
$$x_{50} = 22.776546738526$$
$$x_{51} = 79.3252145031423$$
$$x_{52} = 63.6172512351933$$
$$x_{53} = -46.3384916404494$$
$$x_{54} = 29.0597320457056$$
$$x_{55} = 25.9181393921158$$
$$x_{56} = -52.621676947629$$
$$x_{57} = -14.9225651045515$$
$$x_{58} = 47.9092879672443$$
$$x_{59} = 60.4756585816035$$
$$x_{60} = 16.4933614313464$$
$$x_{61} = -77.7544181763474$$
$$x_{62} = 91.8915851175014$$
$$x_{63} = -80.8960108299372$$
$$x_{64} = 7.06858347057703$$
$$x_{65} = -18.0641577581413$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$
$$\lim_{x \to -0.785398163397448^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) = - \frac{1 \left(1.4142135623731 \sin{\left(0.785398163397448 + 0.25 \pi \right)} \cos{\left(0.785398163397448 + 0.25 \pi \right)} + 1.41421356237309 \sin^{2}{\left(0.785398163397448 + 0.25 \pi \right)}\right)}{\cos^{3}{\left(0.785398163397448 + 0.25 \pi \right)}}$$
$$\lim_{x \to -0.785398163397448^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) = \frac{1 \left(- 1.4142135623731 \sin{\left(0.785398163397448 - 0.25 \pi \right)} \cos{\left(0.785398163397448 - 0.25 \pi \right)} + 1.41421356237309 \cos^{2}{\left(0.785398163397448 - 0.25 \pi \right)}\right)}{\sin^{3}{\left(0.785398163397448 - 0.25 \pi \right)}}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2.35619449019234^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) = \frac{1 \left(1.41421356237309 \sin{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)} \cos{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)} + 1.4142135623731 \cos^{2}{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)}\right)}{\sin^{3}{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)}}$$
$$\lim_{x \to 2.35619449019234^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right) = \frac{1 \left(1.41421356237309 \sin{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)} \cos{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)} + 1.4142135623731 \cos^{2}{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)}\right)}{\sin^{3}{\left(0.25 \pi + 2.35619449019234 \right)}}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[101.316363078271, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -99.7455667514759\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$
$$x_{1} = -0.785398163397448$$
$$x_{2} = 2.35619449019234$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)/sin(x + pi/4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico