Sr Examen

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sqrt(x)-lg(5-x)+(1/(x-2))
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x)-lg(5-x)+(1/(x-2))

Gráfico de la función y = sqrt(x)-lg(5-x)+(1/(x-2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___                  1  
f(x) = \/ x  - log(5 - x) + -----
                            x - 2
f(x)=(x−log⁡(5−x))+1x−2f{\left(x \right)} = \left(\sqrt{x} - \log{\left(5 - x \right)}\right) + \frac{1}{x - 2} 
f = sqrt(x) - log(5 - x) + 1/(x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−log⁡(5−x))+1x−2=0\left(\sqrt{x} - \log{\left(5 - x \right)}\right) + \frac{1}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x) - log(5 - x) + 1/(x - 2).
(−log⁡(5−0)+0)+1−2\left(- \log{\left(5 - 0 \right)} + \sqrt{0}\right) + \frac{1}{-2}
Resultado:
f(0)=−log⁡(5)−12f{\left(0 \right)} = - \log{\left(5 \right)} - \frac{1}{2}
Punto:
(0, -1/2 - log(5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1(x−2)2+15−x+12x=0- \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{1}{5 - x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.866958807020961x_{1} = 0.866958807020961
x2=3.109409781996x_{2} = 3.109409781996
x3=12.571767907416x_{3} = 12.571767907416
Signos de extremos en los puntos:
(0.866958807020961, -1.37048771948909)

(3.109409781996, 2.02784298489772)

(12.571767907416, 1.61583387103064 - pi*I)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3.109409781996x_{1} = 3.109409781996
x2=12.571767907416x_{2} = 12.571767907416
Puntos máximos de la función:
x2=0.866958807020961x_{2} = 0.866958807020961
Decrece en los intervalos
[12.571767907416,∞)\left[12.571767907416, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0.866958807020961,3.109409781996]\left[0.866958807020961, 3.109409781996\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−log⁡(5−x))+1x−2)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sqrt{x} - \log{\left(5 - x \right)}\right) + \frac{1}{x - 2}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−log⁡(5−x))+1x−2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sqrt{x} - \log{\left(5 - x \right)}\right) + \frac{1}{x - 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x) - log(5 - x) + 1/(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−log⁡(5−x))+1x−2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \log{\left(5 - x \right)}\right) + \frac{1}{x - 2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x−log⁡(5−x))+1x−2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - \log{\left(5 - x \right)}\right) + \frac{1}{x - 2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−log⁡(5−x))+1x−2=−x−log⁡(x+5)+1−x−2\left(\sqrt{x} - \log{\left(5 - x \right)}\right) + \frac{1}{x - 2} = \sqrt{- x} - \log{\left(x + 5 \right)} + \frac{1}{- x - 2}
- No
(x−log⁡(5−x))+1x−2=−−x+log⁡(x+5)−1−x−2\left(\sqrt{x} - \log{\left(5 - x \right)}\right) + \frac{1}{x - 2} = - \sqrt{- x} + \log{\left(x + 5 \right)} - \frac{1}{- x - 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(x)-lg(5-x)+(1/(x-2))
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