Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ lg(x^2-6*x+8)/lg(1/2)

Gráfico de la función y = lg(x^2-6*x+8)/lg(1/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 2          \
       log\x  - 6*x + 8/
f(x) = -----------------
            log(1/2)
f(x)=log⁡((x2−6x)+8)log⁡(12)f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 8 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}} 
f = log(x^2 - 6*x + 8)/log(1/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡((x2−6x)+8)log⁡(12)=0\frac{\log{\left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 8 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3−2x_{1} = 3 - \sqrt{2}
x2=2+3x_{2} = \sqrt{2} + 3
Solución numérica
x1=4.41421356237309x_{1} = 4.41421356237309
x2=1.5857864376269x_{2} = 1.5857864376269
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x^2 - 6*x + 8)/log(1/2).
log⁡((02−0)+8)log⁡(12)\frac{\log{\left(\left(0^{2} - 0\right) + 8 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}
Resultado:
f(0)=−log⁡(8)log⁡(2)f{\left(0 \right)} = - \frac{\log{\left(8 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
Punto:
(0, -log(8)/log(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−6((x2−6x)+8)log⁡(12)=0\frac{2 x - 6}{\left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 8\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3
Signos de extremos en los puntos:
      pi*I   
(3, --------)
    log(1/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = 3
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[3,∞)\left[3, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,3]\left(-\infty, 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(2(x−3)2x2−6x+8−1)(x2−6x+8)log⁡(12)=0- \frac{2 \left(\frac{2 \left(x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 6 x + 8} - 1\right)}{\left(x^{2} - 6 x + 8\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((x2−6x)+8)log⁡(12))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 8 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(log⁡((x2−6x)+8)log⁡(12))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 8 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x^2 - 6*x + 8)/log(1/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((x2−6x)+8)xlog⁡(12))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 8 \right)}}{x \log{\left(\frac{1}{2} \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡((x2−6x)+8)xlog⁡(12))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 8 \right)}}{x \log{\left(\frac{1}{2} \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡((x2−6x)+8)log⁡(12)=log⁡(x2+6x+8)log⁡(12)\frac{\log{\left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 8 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}} = \frac{\log{\left(x^{2} + 6 x + 8 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}
- No
log⁡((x2−6x)+8)log⁡(12)=−log⁡(x2+6x+8)log⁡(12)\frac{\log{\left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 8 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}} = - \frac{\log{\left(x^{2} + 6 x + 8 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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