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Trazado el gráfico de la función/ lg((1+x)/(1-x))-3e^|x|-1

Gráfico de la función y = lg((1+x)/(1-x))-3e^|x|-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /1 + x\      |x|    
f(x) = log|-----| - 3*E    - 1
          \1 - x/
f(x)=(−3e∣x∣+log⁡(x+11−x))−1f{\left(x \right)} = \left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1 
f = -3*exp(|x|) + log((x + 1)/(1 - x)) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100-20
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−3e∣x∣+log⁡(x+11−x))−1=0\left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((1 + x)/(1 - x)) - 3*exp(|x|) - 1.
(−3e∣0∣+log⁡(11−0))−1\left(- 3 e^{\left|{0}\right|} + \log{\left(\frac{1}{1 - 0} \right)}\right) - 1
Resultado:
f(0)=−4f{\left(0 \right)} = -4
Punto:
(0, -4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1−x)(11−x+x+1(1−x)2)x+1−3e∣x∣sign⁡(x)=0\frac{\left(1 - x\right) \left(\frac{1}{1 - x} + \frac{x + 1}{\left(1 - x\right)^{2}}\right)}{x + 1} - 3 e^{\left|{x}\right|} \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.844717401392869x_{1} = 0.844717401392869
x2=−1.1049104197545x_{2} = -1.1049104197545
Signos de extremos en los puntos:
(0.8447174013928693, -5.50712537162725)

(-1.1049104197544963, -13.0557834026015 + pi*I)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0.844717401392869x_{1} = 0.844717401392869
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0.844717401392869,∞)\left[0.844717401392869, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0.844717401392869]\left(-\infty, 0.844717401392869\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1−x+1x−1(x+1)2−1−x+1x−1(x−1)(x+1)−6e∣x∣δ(x)−3e∣x∣sign⁡2(x)=0- \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} - 6 e^{\left|{x}\right|} \delta\left(x\right) - 3 e^{\left|{x}\right|} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−3e∣x∣+log⁡(x+11−x))−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−3e∣x∣+log⁡(x+11−x))−1)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((1 + x)/(1 - x)) - 3*exp(|x|) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−3e∣x∣+log⁡(x+11−x))−1x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−3e∣x∣+log⁡(x+11−x))−1x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−3e∣x∣+log⁡(x+11−x))−1=−3e∣x∣+log⁡(1−xx+1)−1\left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1 = - 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} - 1
- No
(−3e∣x∣+log⁡(x+11−x))−1=3e∣x∣−log⁡(1−xx+1)+1\left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1 = 3 e^{\left|{x}\right|} - \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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