Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ lg((1+x)/(1-x))-3e^|x|-1

Gráfico de la función y = lg((1+x)/(1-x))-3e^|x|-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /1 + x\      |x|    
f(x) = log|-----| - 3*E    - 1
          \1 - x/
$$f{\left(x \right)} = \left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1$$ 
f = -3*exp(|x|) + log((x + 1)/(1 - x)) - 1
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((1 + x)/(1 - x)) - 3*exp(|x|) - 1.
$$\left(- 3 e^{\left|{0}\right|} + \log{\left(\frac{1}{1 - 0} \right)}\right) - 1$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -4$$
Punto:
(0, -4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - x\right) \left(\frac{1}{1 - x} + \frac{x + 1}{\left(1 - x\right)^{2}}\right)}{x + 1} - 3 e^{\left|{x}\right|} \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.844717401392869$$
$$x_{2} = -1.1049104197545$$
Signos de extremos en los puntos:
(0.8447174013928693, -5.50712537162725)

(-1.1049104197544963, -13.0557834026015 + pi*I)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0.844717401392869$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0.844717401392869, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.844717401392869\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{x + 1}{x - 1}}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} - 6 e^{\left|{x}\right|} \delta\left(x\right) - 3 e^{\left|{x}\right|} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((1 + x)/(1 - x)) - 3*exp(|x|) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1 = - 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} - 1$$
- No
$$\left(- 3 e^{\left|{x}\right|} + \log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}\right) - 1 = 3 e^{\left|{x}\right|} - \log{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} + 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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