Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 5 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(-5 - 2 \sqrt{14} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(-5 + 2 \sqrt{14} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-5 - 2 \sqrt{14} i}}{3} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-5 + 2 \sqrt{14} i}}{3} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
(pi, -3)
/ / ____\ \ / / / ____\ \\ / / / ____\ \\
I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)/ / / / ____\ \\ |I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)/| / / / ____\ \\ |I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)/|
(-----------------------------------, -1 - sin\I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)//*sin|-----------------------------------| + 2*cos\I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)//*cos|-----------------------------------|)
2 \ 2 / \ 2 /
/ / ____\ \ / / / ____\ \\ / / / ____\ \\
I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)/ / / / ____\ \\ |I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)/| / / / ____\ \\ |I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)/|
(-----------------------------------, -1 - sin\I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)//*sin|-----------------------------------| + 2*cos\I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)//*cos|-----------------------------------|)
2 \ 2 / \ 2 /
/ _________________ \ / / _________________ \\ / / _________________ \\ / / _________________ \\ / / _________________ \\
| / ____ | | | / ____ || | | / ____ || | | / ____ || | | / ____ ||
|-\/ -5 - 2*I*\/ 14 | | |-\/ -5 - 2*I*\/ 14 || | |-\/ -5 - 2*I*\/ 14 || | |-\/ -5 - 2*I*\/ 14 || | |-\/ -5 - 2*I*\/ 14 ||
(-I*log|----------------------|, -1 - sin|I*log|----------------------||*sin|2*I*log|----------------------|| + 2*cos|I*log|----------------------||*cos|2*I*log|----------------------||)
\ 3 / \ \ 3 // \ \ 3 // \ \ 3 // \ \ 3 //
/ _________________ \ / / _________________ \\ / / _________________ \\ / / _________________ \\ / / _________________ \\
| / ____ | | | / ____ || | | / ____ || | | / ____ || | | / ____ ||
|-\/ -5 + 2*I*\/ 14 | | |-\/ -5 + 2*I*\/ 14 || | |-\/ -5 + 2*I*\/ 14 || | |-\/ -5 + 2*I*\/ 14 || | |-\/ -5 + 2*I*\/ 14 ||
(-I*log|----------------------|, -1 - sin|I*log|----------------------||*sin|2*I*log|----------------------|| + 2*cos|I*log|----------------------||*cos|2*I*log|----------------------||)
\ 3 / \ \ 3 // \ \ 3 // \ \ 3 // \ \ 3 //
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 0$$
$$x_{3} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}} \right)}$$
$$x_{3} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2}\right]$$