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Gráfico de la función y = -1-sin(x)*sin(2*x)+2*cos(x)*cos(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = -1 - sin(x)*sin(2*x) + 2*cos(x)*cos(2*x)
$$f{\left(x \right)} = \left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
f = -sin(x)*sin(2*x) - 1 + (2*cos(x))*cos(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -1 - sin(x)*sin(2*x) + (2*cos(x))*cos(2*x).
$$\left(-1 - \sin{\left(0 \right)} \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}\right) + 2 \cos{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 5 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(-5 - 2 \sqrt{14} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(-5 + 2 \sqrt{14} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-5 - 2 \sqrt{14} i}}{3} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-5 + 2 \sqrt{14} i}}{3} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(pi, -3)

   /     /           ____\         \                                                   /  /     /           ____\         \\                                                 /  /     /           ____\         \\ 
 I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)/          /  /     /           ____\         \\    |I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)/|        /  /     /           ____\         \\    |I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)/| 
(-----------------------------------, -1 - sin\I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)//*sin|-----------------------------------| + 2*cos\I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)//*cos|-----------------------------------|)
                  2                                                                    \                 2                 /                                                 \                 2                 / 

   /     /           ____\         \                                                   /  /     /           ____\         \\                                                 /  /     /           ____\         \\ 
 I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)/          /  /     /           ____\         \\    |I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)/|        /  /     /           ____\         \\    |I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)/| 
(-----------------------------------, -1 - sin\I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)//*sin|-----------------------------------| + 2*cos\I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)//*cos|-----------------------------------|)
                  2                                                                    \                 2                 /                                                 \                 2                 / 

       /    _________________ \          /     /    _________________ \\    /       /    _________________ \\        /     /    _________________ \\    /       /    _________________ \\ 
       |   /            ____  |          |     |   /            ____  ||    |       |   /            ____  ||        |     |   /            ____  ||    |       |   /            ____  || 
       |-\/  -5 - 2*I*\/ 14   |          |     |-\/  -5 - 2*I*\/ 14   ||    |       |-\/  -5 - 2*I*\/ 14   ||        |     |-\/  -5 - 2*I*\/ 14   ||    |       |-\/  -5 - 2*I*\/ 14   || 
(-I*log|----------------------|, -1 - sin|I*log|----------------------||*sin|2*I*log|----------------------|| + 2*cos|I*log|----------------------||*cos|2*I*log|----------------------||)
       \          3           /          \     \          3           //    \       \          3           //        \     \          3           //    \       \          3           // 

       /    _________________ \          /     /    _________________ \\    /       /    _________________ \\        /     /    _________________ \\    /       /    _________________ \\ 
       |   /            ____  |          |     |   /            ____  ||    |       |   /            ____  ||        |     |   /            ____  ||    |       |   /            ____  || 
       |-\/  -5 + 2*I*\/ 14   |          |     |-\/  -5 + 2*I*\/ 14   ||    |       |-\/  -5 + 2*I*\/ 14   ||        |     |-\/  -5 + 2*I*\/ 14   ||    |       |-\/  -5 + 2*I*\/ 14   || 
(-I*log|----------------------|, -1 - sin|I*log|----------------------||*sin|2*I*log|----------------------|| + 2*cos|I*log|----------------------||*cos|2*I*log|----------------------||)
       \          3           /          \     \          3           //    \       \          3           //        \     \          3           //    \       \          3           // 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 0$$
$$x_{3} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}} \right)}$$
$$x_{3} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -1 - sin(x)*sin(2*x) + (2*cos(x))*cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = \left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = \left(\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + 1\right) - 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par