Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*sqrt(1-x^2)
-
(1/3)^x
-
(x^3+x)/(x^2+2*x+3)
-
6x^2-x^3
-
Expresiones idénticas
- - uno -sin(x)*sin(dos *x)+ dos *cos(x)*cos(dos *x)
- menos 1 menos seno de (x) multiplicar por seno de (2 multiplicar por x) más 2 multiplicar por coseno de (x) multiplicar por coseno de (2 multiplicar por x)
- menos uno menos seno de (x) multiplicar por seno de (dos multiplicar por x) más dos multiplicar por coseno de (x) multiplicar por coseno de (dos multiplicar por x)
- -1-sin(x)sin(2x)+2cos(x)cos(2x)
- -1-sinxsin2x+2cosxcos2x
-
Expresiones semejantes
- -1-sin(x)*sin(2*x)-2*cos(x)*cos(2*x)
- 1-sin(x)*sin(2*x)+2*cos(x)*cos(2*x)
- -1+sin(x)*sin(2*x)+2*cos(x)*cos(2*x)
- -1-sinx*sin(2*x)+2*cosx*cos(2*x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)/sin(x+pi/4)
- sin(x)+cos(x)^2
- sin(x)*cos(x)^(2)
- sin(x)+9
- sin(x)^(1/3)
- Seno sin
- sin(x)/sin(x+pi/4)
- sin(x)+cos(x)^2
- sin(x)*cos(x)^(2)
- sin(x)+9
- sin(x)^(1/3)
- Coseno cos
- cos(x)*4*x
- cos(x)+sqrt(2)/2
- cos(x)/8+cos(3*x)+sin(3*x)
- cos(x)+cos(2x)
- cos(x)-1/3
- Coseno cos
- cos(x)*4*x
- cos(x)+sqrt(2)/2
- cos(x)/8+cos(3*x)+sin(3*x)
- cos(x)+cos(2x)
- cos(x)-1/3
Gráfico de la función y = -1-sin(x)*sin(2*x)+2*cos(x)*cos(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = -1 - sin(x)*sin(2*x) + 2*cos(x)*cos(2*x)
$$f{\left(x \right)} = \left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
f = -sin(x)*sin(2*x) - 1 + (2*cos(x))*cos(2*x)
Gráfico de la función
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 5 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(-5 - 2 \sqrt{14} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(-5 + 2 \sqrt{14} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-5 - 2 \sqrt{14} i}}{3} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-5 + 2 \sqrt{14} i}}{3} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 0$$
$$x_{3} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}} \right)}$$
$$x_{3} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 5 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(-5 - 2 \sqrt{14} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(-5 + 2 \sqrt{14} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-5 - 2 \sqrt{14} i}}{3} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-5 + 2 \sqrt{14} i}}{3} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
(pi, -3)
/ / ____\ \ / / / ____\ \\ / / / ____\ \\
I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)/ / / / ____\ \\ |I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)/| / / / ____\ \\ |I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)/|
(-----------------------------------, -1 - sin\I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)//*sin|-----------------------------------| + 2*cos\I*\- log\-5 - 2*I*\/ 14 / + log(9)//*cos|-----------------------------------|)
2 \ 2 / \ 2 / / / ____\ \ / / / ____\ \\ / / / ____\ \\
I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)/ / / / ____\ \\ |I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)/| / / / ____\ \\ |I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)/|
(-----------------------------------, -1 - sin\I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)//*sin|-----------------------------------| + 2*cos\I*\- log\-5 + 2*I*\/ 14 / + log(9)//*cos|-----------------------------------|)
2 \ 2 / \ 2 / / _________________ \ / / _________________ \\ / / _________________ \\ / / _________________ \\ / / _________________ \\
| / ____ | | | / ____ || | | / ____ || | | / ____ || | | / ____ ||
|-\/ -5 - 2*I*\/ 14 | | |-\/ -5 - 2*I*\/ 14 || | |-\/ -5 - 2*I*\/ 14 || | |-\/ -5 - 2*I*\/ 14 || | |-\/ -5 - 2*I*\/ 14 ||
(-I*log|----------------------|, -1 - sin|I*log|----------------------||*sin|2*I*log|----------------------|| + 2*cos|I*log|----------------------||*cos|2*I*log|----------------------||)
\ 3 / \ \ 3 // \ \ 3 // \ \ 3 // \ \ 3 // / _________________ \ / / _________________ \\ / / _________________ \\ / / _________________ \\ / / _________________ \\
| / ____ | | | / ____ || | | / ____ || | | / ____ || | | / ____ ||
|-\/ -5 + 2*I*\/ 14 | | |-\/ -5 + 2*I*\/ 14 || | |-\/ -5 + 2*I*\/ 14 || | |-\/ -5 + 2*I*\/ 14 || | |-\/ -5 + 2*I*\/ 14 ||
(-I*log|----------------------|, -1 - sin|I*log|----------------------||*sin|2*I*log|----------------------|| + 2*cos|I*log|----------------------||*cos|2*I*log|----------------------||)
\ 3 / \ \ 3 // \ \ 3 // \ \ 3 // \ \ 3 // Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 0$$
$$x_{3} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}} \right)}$$
$$x_{3} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2} \right)}} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{14}}{5} \right)}}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -4, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -1 - sin(x)*sin(2*x) + (2*cos(x))*cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = \left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = \left(\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + 1\right) - 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = \left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$\left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 1\right) + 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = \left(\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + 1\right) - 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par