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sqrt((x+2)(x^2+4x+1))
Trazado el gráfico de la función/ sqrt((x+2)(x^2+4x+1))

Gráfico de la función y = sqrt((x+2)(x^2+4x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ________________________
         /         / 2          \ 
f(x) = \/  (x + 2)*\x  + 4*x + 1/
f(x)=(x+2)((x2+4x)+1)f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} 
f = sqrt((x + 2)*(x^2 + 4*x + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+2)((x2+4x)+1)=0\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2−i3−1i3x_{1} = -2 - \sqrt[3]{i} - \frac{1}{\sqrt[3]{i}}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((x + 2)*(x^2 + 4*x + 1)).
2((02+0⋅4)+1)\sqrt{2 \left(\left(0^{2} + 0 \cdot 4\right) + 1\right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = \sqrt{2}
Punto:
(0, sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x+2)((x2+4x)+1)(x22+2x+(x+2)(2x+4)2+12)(x+2)((x2+4x)+1)=0\frac{\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} \left(\frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{\left(x + 2\right) \left(2 x + 4\right)}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
x2=−1x_{2} = -1
Signos de extremos en los puntos:
       ___ 
(-3, \/ 2 )

         ___ 
(-1, I*\/ 2 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=−3x_{2} = -3
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]\left(-\infty, -3\right]
Crece en los intervalos
[−3,∞)\left[-3, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+2)(x2+4x+1)(3−x2+4x+2(x+2)2+1x2+4x+1−x2+4x+2(x+2)2+12(x+2)2+(x2+4x+2(x+2)2+1)24(x+2)2(x2+4x+1))x2+4x+1=0\frac{\sqrt{\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)} \left(3 - \frac{x^{2} + 4 x + 2 \left(x + 2\right)^{2} + 1}{x^{2} + 4 x + 1} - \frac{x^{2} + 4 x + 2 \left(x + 2\right)^{2} + 1}{2 \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{\left(x^{2} + 4 x + 2 \left(x + 2\right)^{2} + 1\right)^{2}}{4 \left(x + 2\right)^{2} \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}\right)}{x^{2} + 4 x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2+3+23x_{1} = -2 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}
x2=−3+23−2x_{2} = - \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} - 2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2+3+23,∞)\left[-2 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2+3+23]\left(-\infty, -2 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+2)((x2+4x)+1)=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x+2)((x2+4x)+1)=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((x + 2)*(x^2 + 4*x + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+2)((x2+4x)+1)x)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)}}{x}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+2)((x2+4x)+1)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+2)((x2+4x)+1)=(2−x)(x2−4x+1)\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = \sqrt{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 4 x + 1\right)}
- No
(x+2)((x2+4x)+1)=−(2−x)(x2−4x+1)\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = - \sqrt{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 4 x + 1\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt((x+2)(x^2+4x+1))
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