Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-3)^2
-
x^2+x+1
-
x^3-3*x^2+4
-
x^2+1/x
-
Expresiones idénticas
- sqrt((x+ dos)(x^ dos +4x+ uno))
- raíz cuadrada de ((x más 2)(x al cuadrado más 4x más 1))
- raíz cuadrada de ((x más dos)(x en el grado dos más 4x más uno))
- √((x+2)(x^2+4x+1))
- sqrt((x+2)(x2+4x+1))
- sqrtx+2x2+4x+1
- sqrt((x+2)(x²+4x+1))
- sqrt((x+2)(x en el grado 2+4x+1))
- sqrtx+2x^2+4x+1
-
Expresiones semejantes
- sqrt((x+2)(x^2+4x-1))
- sqrt((x+2)(x^2-4x+1))
- sqrt((x-2)(x^2+4x+1))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x+5)
- sqrt((-1-x^2)/(1+x^2))
- sqrt(x)*e^x
- sqrtx
- sqrt(xˆ2-9)
Gráfico de la función y = sqrt((x+2)(x^2+4x+1))
Solución
Ha introducido
[src]
________________________
/ / 2 \
f(x) = \/ (x + 2)*\x + 4*x + 1/
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)}$$
f = sqrt((x + 2)*(x^2 + 4*x + 1))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2 - \sqrt[3]{i} - \frac{1}{\sqrt[3]{i}}$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2 - \sqrt[3]{i} - \frac{1}{\sqrt[3]{i}}$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} \left(\frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{\left(x + 2\right) \left(2 x + 4\right)}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = -3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[-3, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} \left(\frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{\left(x + 2\right) \left(2 x + 4\right)}{2} + \frac{1}{2}\right)}{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
Signos de extremos en los puntos:
___ (-3, \/ 2 )
___ (-1, I*\/ 2 )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = -3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[-3, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt{\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)} \left(3 - \frac{x^{2} + 4 x + 2 \left(x + 2\right)^{2} + 1}{x^{2} + 4 x + 1} - \frac{x^{2} + 4 x + 2 \left(x + 2\right)^{2} + 1}{2 \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{\left(x^{2} + 4 x + 2 \left(x + 2\right)^{2} + 1\right)^{2}}{4 \left(x + 2\right)^{2} \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}\right)}{x^{2} + 4 x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} - 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt{\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 4 x + 1\right)} \left(3 - \frac{x^{2} + 4 x + 2 \left(x + 2\right)^{2} + 1}{x^{2} + 4 x + 1} - \frac{x^{2} + 4 x + 2 \left(x + 2\right)^{2} + 1}{2 \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{\left(x^{2} + 4 x + 2 \left(x + 2\right)^{2} + 1\right)^{2}}{4 \left(x + 2\right)^{2} \left(x^{2} + 4 x + 1\right)}\right)}{x^{2} + 4 x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} - 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((x + 2)*(x^2 + 4*x + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)}}{x}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)}}{x}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = \sqrt{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 4 x + 1\right)}$$
- No
$$\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = - \sqrt{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 4 x + 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = \sqrt{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 4 x + 1\right)}$$
- No
$$\sqrt{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right)} = - \sqrt{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 4 x + 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico