Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\cos{\left(x \right)} - \frac{2}{\pi} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ /2 \ \
_________ 2*|- acos|--| + 2*pi|
/2 \ / 4 \ \pi/ /
(- acos|--| + 2*pi, - / 1 - --- - ---------------------)
\pi/ / 2 pi
\/ pi
/2 \
_________ 2*acos|--|
/2 \ / 4 \pi/
(acos|--|, / 1 - --- - ----------)
\pi/ / 2 pi
\/ pi
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)} + 2 \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}\right] \cup \left[- \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)} + 2 \pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)}, - \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{\pi} \right)} + 2 \pi\right]$$