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Trazado el gráfico de la función/ pi/2+arcsin(x/2)

Gráfico de la función y = pi/2+arcsin(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       pi       /x\
f(x) = -- + asin|-|
       2        \2/
f(x)=asin⁡(x2)+π2f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\pi}{2} 
f = asin(x/2) + pi/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(x2)+π2=0\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\pi}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en pi/2 + asin(x/2).
asin⁡(02)+π2\operatorname{asin}{\left(\frac{0}{2} \right)} + \frac{\pi}{2}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
121−x24=0\frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x8(1−x24)32=0\frac{x}{8 \left(1 - \frac{x^{2}}{4}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función pi/2 + asin(x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(asin⁡(x2)+π2x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\pi}{2}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(asin⁡(x2)+π2x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\pi}{2}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(x2)+π2=−asin⁡(x2)+π2\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\pi}{2} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\pi}{2}
- No
asin⁡(x2)+π2=asin⁡(x2)−π2\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\pi}{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{\pi}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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