Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcsin((x*x)-x)

Gráfico de la función y = arcsin((x*x)-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = asin(x*x - x)
f(x)=asin⁡(−x+xx)f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(- x + x x \right)} 
f = asin(-x + x*x)
Gráfico de la función
-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.21.41.62-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(−x+xx)=0\operatorname{asin}{\left(- x + x x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(x*x - x).
asin⁡(0⋅0−0)\operatorname{asin}{\left(0 \cdot 0 - 0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−11−(−x+xx)2=0\frac{2 x - 1}{\sqrt{1 - \left(- x + x x\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(1/2, -asin(1/4))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x(1−x)(2x−1)2−x2(x−1)2+1+2−x2(x−1)2+1=0\frac{- \frac{x \left(1 - x\right) \left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} \left(x - 1\right)^{2} + 1} + 2}{\sqrt{- x^{2} \left(x - 1\right)^{2} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(−x+xx)=−∞i\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(- x + x x \right)} = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞asin⁡(−x+xx)=−∞i\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(- x + x x \right)} = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(x*x - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(asin⁡(−x+xx)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(- x + x x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(asin⁡(−x+xx)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(- x + x x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(−x+xx)=asin⁡(x2+x)\operatorname{asin}{\left(- x + x x \right)} = \operatorname{asin}{\left(x^{2} + x \right)}
- No
asin⁡(−x+xx)=−asin⁡(x2+x)\operatorname{asin}{\left(- x + x x \right)} = - \operatorname{asin}{\left(x^{2} + x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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