sqrt(3*x)+sqrt(5*x+1)=7 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{3 x} + \sqrt{5 x + 1} = 7$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{3} \sqrt{x} + \sqrt{5 x + 1}\right)^{2} = 49$$
o
$$1^{2} \left(5 x + 1\right) + \left(x \left(\sqrt{3}\right)^{2} + 2 \sqrt{3} \sqrt{x \left(5 x + 1\right)}\right) = 49$$
o
$$8 x + 2 \sqrt{3} \sqrt{5 x^{2} + x} + 1 = 49$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{3} \sqrt{5 x^{2} + x} = 48 - 8 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$60 x^{2} + 12 x = \left(48 - 8 x\right)^{2}$$
$$60 x^{2} + 12 x = 64 x^{2} - 768 x + 2304$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 4 x^{2} + 780 x - 2304 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = 780$$
$$c = -2304$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(780)^2 - 4 * (-4) * (-2304) = 571536

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 192$$

Como
$$\sqrt{5 x^{2} + x} = - \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + 8 \sqrt{3}$$
y
$$\sqrt{5 x^{2} + x} \geq 0$$
entonces
$$- \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + 8 \sqrt{3} \geq 0$$
o
$$x \leq 6$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 3$$
comprobamos:
$$x_{1} = 3$$
$$\sqrt{3} \sqrt{x_{1}} + \sqrt{5 x_{1} + 1} - 7 = 0$$
=
$$-7 + \left(\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{1 + 3 \cdot 5}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 3$$