Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación 6*x^2+x-7=0
- Ecuación z^5+32=0
-
Ecuación 2-5(3+2x)=17
-
Ecuación (6*x+8)/2+5=5*x/3
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -9*x-12*y=-19
- -8*x+3*y=-4
- 16*x-17*y=-15
- -10*x-12*y=-10
-
Expresiones idénticas
- x^ tres +2sqrt3-2i= cero
- x al cubo más 2 raíz cuadrada de 3 menos 2i es igual a 0
- x en el grado tres más 2 raíz cuadrada de 3 menos 2i es igual a cero
- x^3+2√3-2i=0
- x3+2sqrt3-2i=0
- x³+2sqrt3-2i=0
- x en el grado 3+2sqrt3-2i=0
- x^3+2sqrt3-2i=O
-
Expresiones semejantes
- x^3+2sqrt3+2i=0
- x^3-2sqrt3-2i=0
x^3+2sqrt3-2i=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$\left(x^{3} + 2 \sqrt{3}\right) - 2 i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{- 2 \sqrt{3} + 2 i}$$
o
$$x = \sqrt[3]{- 2 \sqrt{3} + 2 i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: x = (-2*sqrt(3) + 2*i)^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = - 2 \sqrt{3} + 2 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - 2 \sqrt{3} + 2 i$$
donde
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{1}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{18}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
$$\left(x^{3} + 2 \sqrt{3}\right) - 2 i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{- 2 \sqrt{3} + 2 i}$$
o
$$x = \sqrt[3]{- 2 \sqrt{3} + 2 i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = -2*sqrt+3 + 2*i)^1/3
Obtenemos la respuesta: x = (-2*sqrt(3) + 2*i)^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = - 2 \sqrt{3} + 2 i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - 2 \sqrt{3} + 2 i$$
donde
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{1}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{18}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 2 \sqrt{3} - 2 i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 2 \sqrt{3} - 2 i$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 2 \sqrt{3} - 2 i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 2 \sqrt{3} - 2 i$$
Gráfica
Respuesta rápida
[src]
2/3 /5*pi\ 2/3 /5*pi\
x1 = 2 *cos|----| + I*2 *sin|----|
\ 18 / \ 18 /
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
/ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\
| 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|
| \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /
x2 = I*|- -------------- - --------------------| - -------------- + --------------------
\ 2 2 / 2 2
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)$$
/ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\
| 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|
| \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /
x3 = I*|- -------------- + --------------------| - -------------- - --------------------
\ 2 2 / 2 2
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)$$
x3 = -2^(2/3)*sqrt(3)*sin(5*pi/18)/2 - 2^(2/3)*cos(5*pi/18)/2 + i*(-2^(2/3)*sin(5*pi/18)/2 + 2^(2/3)*sqrt(3)*cos(5*pi/18)/2)
Suma y producto de raíces
[src]
suma
/ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\ / 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\
| 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----| | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|
2/3 /5*pi\ 2/3 /5*pi\ | \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 / | \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /
2 *cos|----| + I*2 *sin|----| + I*|- -------------- - --------------------| - -------------- + -------------------- + I*|- -------------- + --------------------| - -------------- - --------------------
\ 18 / \ 18 / \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2
$$\left(\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) + \left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)\right)$$
=
/ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ / 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| | \ 18 / \ 18 /| | \ 18 / \ 18 /| 2/3 /5*pi\ I*|- -------------- + --------------------| + I*|- -------------- - --------------------| + I*2 *sin|----| \ 2 2 / \ 2 2 / \ 18 /
$$i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right) + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right) + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}$$
producto
/ / 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ / / 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\ 2/3 /5*pi\ 2/3 ___ /5*pi\\
| | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----|| | | 2 *sin|----| 2 *\/ 3 *cos|----|| 2 *cos|----| 2 *\/ 3 *sin|----||
/ 2/3 /5*pi\ 2/3 /5*pi\\ | | \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /| | | \ 18 / \ 18 /| \ 18 / \ 18 /|
|2 *cos|----| + I*2 *sin|----||*|I*|- -------------- - --------------------| - -------------- + --------------------|*|I*|- -------------- + --------------------| - -------------- - --------------------|
\ \ 18 / \ 18 // \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 /
$$\left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)}}{2}\right)\right)$$
=
3/5*pi\ /3 /2*pi\\ 2/5*pi\ /5*pi\ 3/5*pi\
4*cos |----| + I*|- + 3*cos|----|| - 12*sin |----|*cos|----| - 4*I*sin |----|
\ 18 / \2 \ 9 // \ 18 / \ 18 / \ 18 /
$$- 12 \sin^{2}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} \cos{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + 4 \cos^{3}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} - 4 i \sin^{3}{\left(\frac{5 \pi}{18} \right)} + i \left(\frac{3}{2} + 3 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right)$$
4*cos(5*pi/18)^3 + i*(3/2 + 3*cos(2*pi/9)) - 12*sin(5*pi/18)^2*cos(5*pi/18) - 4*i*sin(5*pi/18)^3
Respuesta numérica
[src]
x1 = 1.02036172780854 + 1.21601975486146*i
x2 = 0.542923135309481 - 1.49166905476231*i
x3 = -1.56328486311802 + 0.275649299900846*i
x3 = -1.56328486311802 + 0.275649299900846*i