sqrt(x+5)-sqrt(x-3)=2 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{x - 3} + \sqrt{x + 5} = 2$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{x - 3} + \sqrt{x + 5}\right)^{2} = 4$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(x - 3\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(x - 3\right) \left(x + 5\right)} + 1^{2} \left(x + 5\right)\right) = 4$$
o
$$2 x - 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 15} + 2 = 4$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 15} = 2 - 2 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$4 x^{2} + 8 x - 60 = \left(2 - 2 x\right)^{2}$$
$$4 x^{2} + 8 x - 60 = 4 x^{2} - 8 x + 4$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$16 x - 64 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$16 x = 64$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 16

x = 64 / (16)

Obtenemos la respuesta: x = 4

Como
$$\sqrt{x^{2} + 2 x - 15} = x - 1$$
y
$$\sqrt{x^{2} + 2 x - 15} \geq 0$$
entonces
$$x - 1 \geq 0$$
o
$$1 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 4$$
comprobamos:
$$x_{1} = 4$$
$$- \sqrt{x_{1} - 3} + \sqrt{x_{1} + 5} - 2 = 0$$
=
$$-2 + \left(- \sqrt{-3 + 4} + \sqrt{4 + 5}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 4$$