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x^5-1=0

x^5-1=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src] 
 5        
x  - 1 = 0
x5−1=0x^{5} - 1 = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
x5−1=0x^{5} - 1 = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 5 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 5 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
x55=15\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{1}
o
x=1x = 1
Obtenemos la respuesta: x = 1

Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z=xz = x
entonces la ecuación será así:
z5=1z^{5} = 1
Cualquier número complejo se puede presentar que:
z=reipz = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r5e5ip=1r^{5} e^{5 i p} = 1
donde
r=1r = 1
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e5ip=1e^{5 i p} = 1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(5p)+cos⁡(5p)=1i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1
es decir
cos⁡(5p)=1\cos{\left(5 p \right)} = 1
y
sin⁡(5p)=0\sin{\left(5 p \right)} = 0
entonces
p=2πN5p = \frac{2 \pi N}{5}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1=1z_{1} = 1
z2=−14+54−i58+58z_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
z3=−14+54+i58+58z_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
z4=−54−14−i58−58z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
z5=−54−14+i58−58z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
hacemos cambio inverso
z=xz = x
x=zx = z

Entonces la respuesta definitiva es:
x1=1x_{1} = 1
x2=−14+54−i58+58x_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
x3=−14+54+i58+58x_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
x4=−54−14−i58−58x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
x5=−54−14+i58−58x_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
Gráfica
-12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.0-250000250000
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
                         ___________                        ___________                        ___________                        ___________
            ___         /       ___            ___         /       ___            ___         /       ___            ___         /       ___ 
      1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
1 + - - + ----- - I*  /   - + -----  + - - + ----- + I*  /   - + -----  + - - - ----- - I*  /   - - -----  + - - - ----- + I*  /   - - ----- 
      4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8
((−54−14−i58−58)+((1+(−14+54−i58+58))+(−14+54+i58+58)))+(−54−14+i58−58)\left(\left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(1 + \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) 
=
0
00 
producto
/                     ___________\ /                     ___________\ /                     ___________\ /                     ___________\
|        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ |
|  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  |
|- - + ----- - I*  /   - + ----- |*|- - + ----- + I*  /   - + ----- |*|- - - ----- - I*  /   - - ----- |*|- - - ----- + I*  /   - - ----- |
\  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   /
(−14+54−i58+58)(−14+54+i58+58)(−54−14−i58−58)(−54−14+i58−58)\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) 
=
1
11 
1
Respuesta rápida [src] 
x1 = 1
x1=1x_{1} = 1 
                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x2 = - - + ----- - I*  /   - + ----- 
       4     4       \/    8     8
x2=−14+54−i58+58x_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} 
                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x3 = - - + ----- + I*  /   - + ----- 
       4     4       \/    8     8
x3=−14+54+i58+58x_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} 
                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x4 = - - - ----- - I*  /   - - ----- 
       4     4       \/    8     8
x4=−54−14−i58−58x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} 
                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
x5 = - - - ----- + I*  /   - - ----- 
       4     4       \/    8     8
x5=−54−14+i58−58x_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} 
x5 = -sqrt(5)/4 - 1/4 + i*sqrt(5/8 - sqrt(5)/8)
Respuesta numérica [src] 
x1 = 1.0
x2 = -0.809016994374947 + 0.587785252292473*i
x3 = -0.809016994374947 - 0.587785252292473*i
x4 = 0.309016994374947 - 0.951056516295154*i
x5 = 0.309016994374947 + 0.951056516295154*i
x5 = 0.309016994374947 + 0.951056516295154*i
Gráfico
x^5-1=0 la ecuación
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