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x^4+81=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src] 
 4         
x  + 81 = 0
x4+81=0x^{4} + 81 = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
x4+81=0x^{4} + 81 = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 4 y miembro libre = -81 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z=xz = x
entonces la ecuación será así:
z4=−81z^{4} = -81
Cualquier número complejo se puede presentar que:
z=reipz = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r4e4ip=−81r^{4} e^{4 i p} = -81
donde
r=3r = 3
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e4ip=−1e^{4 i p} = -1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(4p)+cos⁡(4p)=−1i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1
es decir
cos⁡(4p)=−1\cos{\left(4 p \right)} = -1
y
sin⁡(4p)=0\sin{\left(4 p \right)} = 0
entonces
p=πN2+π4p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1=−322−32i2z_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
z2=−322+32i2z_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
z3=322−32i2z_{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
z4=322+32i2z_{4} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
hacemos cambio inverso
z=xz = x
x=zx = z

Entonces la respuesta definitiva es:
x1=−322−32i2x_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
x2=−322+32i2x_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
x3=322−32i2x_{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
x4=322+32i2x_{4} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
Respuesta rápida [src] 
           ___         ___
       3*\/ 2    3*I*\/ 2 
x1 = - ------- - ---------
          2          2
x1=−322−32i2x_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2} 
           ___         ___
       3*\/ 2    3*I*\/ 2 
x2 = - ------- + ---------
          2          2
x2=−322+32i2x_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2} 
         ___         ___
     3*\/ 2    3*I*\/ 2 
x3 = ------- - ---------
        2          2
x3=322−32i2x_{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2} 
         ___         ___
     3*\/ 2    3*I*\/ 2 
x4 = ------- + ---------
        2          2
x4=322+32i2x_{4} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2} 
x4 = 3*sqrt(2)/2 + 3*sqrt(2)*i/2
Suma y producto de raíces [src] 
suma
      ___         ___         ___         ___       ___         ___       ___         ___
  3*\/ 2    3*I*\/ 2      3*\/ 2    3*I*\/ 2    3*\/ 2    3*I*\/ 2    3*\/ 2    3*I*\/ 2 
- ------- - --------- + - ------- + --------- + ------- - --------- + ------- + ---------
     2          2            2          2          2          2          2          2
((322−32i2)+((−322−32i2)+(−322+32i2)))+(322+32i2)\left(\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\left(- \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) + \left(- \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) 
=
0
00 
producto
/      ___         ___\ /      ___         ___\ /    ___         ___\ /    ___         ___\
|  3*\/ 2    3*I*\/ 2 | |  3*\/ 2    3*I*\/ 2 | |3*\/ 2    3*I*\/ 2 | |3*\/ 2    3*I*\/ 2 |
|- ------- - ---------|*|- ------- + ---------|*|------- - ---------|*|------- + ---------|
\     2          2    / \     2          2    / \   2          2    / \   2          2    /
(−322−32i2)(−322+32i2)(322−32i2)(322+32i2)\left(- \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) 
=
81
8181 
81
Respuesta numérica [src] 
x1 = 2.12132034355964 - 2.12132034355964*i
x2 = 2.12132034355964 + 2.12132034355964*i
x3 = -2.12132034355964 + 2.12132034355964*i
x4 = -2.12132034355964 - 2.12132034355964*i
x4 = -2.12132034355964 - 2.12132034355964*i
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