4*x+1/x la ecuación

Tenemos la ecuación
$$4 x + \frac{1}{x} = 0$$
cambiamos
$$\frac{1}{x^{2}} = -4$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -2 y miembro libre = -4 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$\frac{1}{z^{2}} = -4$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\frac{e^{- 2 i p}}{r^{2}} = -4$$
donde
$$r = \frac{1}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{- 2 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$- i \sin{\left(2 p \right)} + \cos{\left(2 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(2 p \right)} = -1$$
y
$$- \sin{\left(2 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = - \pi N - \frac{\pi}{2}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \frac{i}{2}$$
$$z_{2} = \frac{i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - \frac{i}{2}$$
$$x_{2} = \frac{i}{2}$$