Sr Examen

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z^3=1-i la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src] 
 3        
z  = 1 - I
z3=1−iz^{3} = 1 - i
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
z3=1−iz^{3} = 1 - i
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
z33=1−i3\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{1 - i}
o
z=1−i3z = \sqrt[3]{1 - i}
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
z = 1+i^1/3

Obtenemos la respuesta: z = (1 - i)^(1/3)

Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
w=zw = z
entonces la ecuación será así:
w3=1−iw^{3} = 1 - i
Cualquier número complejo se puede presentar que:
w=reipw = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r3e3ip=1−ir^{3} e^{3 i p} = 1 - i
donde
r=26r = \sqrt[6]{2}
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e3ip=2(1−i)2e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(1 - i\right)}{2}
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(3p)+cos⁡(3p)=2(1−i)2i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(1 - i\right)}{2}
es decir
cos⁡(3p)=22\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
y
sin⁡(3p)=−22\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
entonces
p=2πN3−π12p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{12}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
w1=−2232−223i2w_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}
w2=2234+22334−2233i4+223i4w_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}
w3=−22334+2234+223i4+2233i4w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}
hacemos cambio inverso
w=zw = z
z=wz = w

Entonces la respuesta definitiva es:
z1=−2232−223i2z_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}
z2=2234+22334−2233i4+223i4z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}
z3=−22334+2234+223i4+2233i4z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
pz2+qz+v+z3=0p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0
donde
p=bap = \frac{b}{a}
p=0p = 0
q=caq = \frac{c}{a}
q=0q = 0
v=dav = \frac{d}{a}
v=−1+iv = -1 + i
Fórmulas de Cardano-Vieta
z1+z2+z3=−pz_{1} + z_{2} + z_{3} = - p
z1z2+z1z3+z2z3=qz_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q
z1z2z3=vz_{1} z_{2} z_{3} = v
z1+z2+z3=0z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0
z1z2+z1z3+z2z3=0z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0
z1z2z3=−1+iz_{1} z_{2} z_{3} = -1 + i
Gráfica
Respuesta rápida [src] 
        2/3      2/3
       2      I*2   
z1 = - ---- - ------
        2       2
z1=−2232−223i2z_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} 
      2/3     / 2/3    2/3   ___\    2/3   ___
     2        |2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
z2 = ---- + I*|---- - ----------| + ----------
      4       \ 4         4     /       4
z2=2234+22334+i(−22334+2234)z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right) 
      2/3     / 2/3    2/3   ___\    2/3   ___
     2        |2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
z3 = ---- + I*|---- + ----------| - ----------
      4       \ 4         4     /       4
z3=−22334+2234+i(2234+22334)z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right) 
z3 = -2^(2/3)*sqrt(3)/4 + 2^(2/3)/4 + i*(2^(2/3)/4 + 2^(2/3)*sqrt(3)/4)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
   2/3      2/3    2/3     / 2/3    2/3   ___\    2/3   ___    2/3     / 2/3    2/3   ___\    2/3   ___
  2      I*2      2        |2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3    2        |2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
- ---- - ------ + ---- + I*|---- - ----------| + ---------- + ---- + I*|---- + ----------| - ----------
   2       2       4       \ 4         4     /       4         4       \ 4         4     /       4
((−2232−223i2)+(2234+22334+i(−22334+2234)))+(−22334+2234+i(2234+22334))\left(\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)\right) 
=
  / 2/3    2/3   ___\     / 2/3    2/3   ___\      2/3
  |2      2   *\/ 3 |     |2      2   *\/ 3 |   I*2   
I*|---- - ----------| + I*|---- + ----------| - ------
  \ 4         4     /     \ 4         4     /     2
−223i2+i(−22334+2234)+i(2234+22334)- \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right) + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right) 
producto
/   2/3      2/3\ / 2/3     / 2/3    2/3   ___\    2/3   ___\ / 2/3     / 2/3    2/3   ___\    2/3   ___\
|  2      I*2   | |2        |2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 | |2        |2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 |
|- ---- - ------|*|---- + I*|---- - ----------| + ----------|*|---- + I*|---- + ----------| - ----------|
\   2       2   / \ 4       \ 4         4     /       4     / \ 4       \ 4         4     /       4     /
(−2232−223i2)(2234+22334+i(−22334+2234))(−22334+2234+i(2234+22334))\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)\right) 
=
1 - I
1−i1 - i 
1 - i
Respuesta numérica [src] 
z1 = -0.7937005259841 - 0.7937005259841*i
z2 = -0.290514555507251 + 1.08421508149135*i
z3 = 1.08421508149135 - 0.290514555507251*i
z3 = 1.08421508149135 - 0.290514555507251*i
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