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z^3=1+i la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src] 
 3        
z  = 1 + I
z3=1+iz^{3} = 1 + i
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
z3=1+iz^{3} = 1 + i
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
z33=1+i3\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{1 + i}
o
z=1+i3z = \sqrt[3]{1 + i}
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
z = 1+i^1/3

Obtenemos la respuesta: z = (1 + i)^(1/3)

Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
w=zw = z
entonces la ecuación será así:
w3=1+iw^{3} = 1 + i
Cualquier número complejo se puede presentar que:
w=reipw = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r3e3ip=1+ir^{3} e^{3 i p} = 1 + i
donde
r=26r = \sqrt[6]{2}
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e3ip=2(1+i)2e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(1 + i\right)}{2}
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(3p)+cos⁡(3p)=2(1+i)2i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(1 + i\right)}{2}
es decir
cos⁡(3p)=22\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
y
sin⁡(3p)=22\sin{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
entonces
p=2πN3+π12p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{12}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
w1=−2232+223i2w_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}
w2=2234+22334−223i4+2233i4w_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}
w3=−22334+2234−2233i4−223i4w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}
hacemos cambio inverso
w=zw = z
z=wz = w

Entonces la respuesta definitiva es:
z1=−2232+223i2z_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}
z2=2234+22334−223i4+2233i4z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}
z3=−22334+2234−2233i4−223i4z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
pz2+qz+v+z3=0p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0
donde
p=bap = \frac{b}{a}
p=0p = 0
q=caq = \frac{c}{a}
q=0q = 0
v=dav = \frac{d}{a}
v=−1−iv = -1 - i
Fórmulas de Cardano-Vieta
z1+z2+z3=−pz_{1} + z_{2} + z_{3} = - p
z1z2+z1z3+z2z3=qz_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q
z1z2z3=vz_{1} z_{2} z_{3} = v
z1+z2+z3=0z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0
z1z2+z1z3+z2z3=0z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0
z1z2z3=−1−iz_{1} z_{2} z_{3} = -1 - i
Gráfica
Suma y producto de raíces [src] 
suma
   2/3      2/3    2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___    2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___
  2      I*2      2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3    2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
- ---- + ------ + ---- + I*|- ---- + ----------| + ---------- + ---- + I*|- ---- - ----------| - ----------
   2       2       4       \   4         4     /       4         4       \   4         4     /       4
(−22334+2234+i(−22334−2234))+((2234+22334+i(−2234+22334))+(−2232+223i2))\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)\right) + \left(\left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)\right) 
=
  /   2/3    2/3   ___\     /   2/3    2/3   ___\      2/3
  |  2      2   *\/ 3 |     |  2      2   *\/ 3 |   I*2   
I*|- ---- - ----------| + I*|- ---- + ----------| + ------
  \   4         4     /     \   4         4     /     2
i(−22334−2234)+i(−2234+22334)+223i2i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right) + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right) + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} 
producto
/   2/3      2/3\ / 2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___\ / 2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___\
|  2      I*2   | |2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 | |2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 |
|- ---- + ------|*|---- + I*|- ---- + ----------| + ----------|*|---- + I*|- ---- - ----------| - ----------|
\   2       2   / \ 4       \   4         4     /       4     / \ 4       \   4         4     /       4     /
(−2232+223i2)(2234+22334+i(−2234+22334))(−22334+2234+i(−22334−2234))\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)\right) 
=
1 + I
1+i1 + i 
1 + i
Respuesta rápida [src] 
        2/3      2/3
       2      I*2   
z1 = - ---- + ------
        2       2
z1=−2232+223i2z_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} 
      2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___
     2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
z2 = ---- + I*|- ---- + ----------| + ----------
      4       \   4         4     /       4
z2=2234+22334+i(−2234+22334)z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right) 
      2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___
     2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
z3 = ---- + I*|- ---- - ----------| - ----------
      4       \   4         4     /       4
z3=−22334+2234+i(−22334−2234)z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right) 
z3 = -2^(2/3)*sqrt(3)/4 + 2^(2/3)/4 + i*(-2^(2/3)*sqrt(3)/4 - 2^(2/3)/4)
Respuesta numérica [src] 
z1 = -0.290514555507251 - 1.08421508149135*i
z2 = -0.7937005259841 + 0.7937005259841*i
z3 = 1.08421508149135 + 0.290514555507251*i
z3 = 1.08421508149135 + 0.290514555507251*i
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