Tenemos la ecuación
$$2 x + \frac{1}{x^{2}} = 0$$
cambiamos
$$\frac{1}{x^{3}} = -2$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia -3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{-2}}$$
o
$$x = - \frac{\left(-2\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = 2^2/3/2
Obtenemos la respuesta: x = -(-2)^(2/3)/2
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$\frac{1}{z^{3}} = -2$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = -2$$
donde
$$r = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{- 3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = - \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
$$z_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$