Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación x^2+x+1=0
-
Ecuación 5*x=32+x
-
Ecuación 4*x-8=x+1
-
Ecuación (x-1)(x+9)=8x
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -6*x+11*y=-5
- -15*x+7*y=1
- -11*x-11*y=4
- 11*x-9*y=-4
- Integral de d{x}:
- z^3
- Gráfico de la función y =:
-
z^3
- Derivada de:
-
z^3
-
Expresiones idénticas
- z^ tres =- uno +i
- z al cubo es igual a menos 1 más i
- z en el grado tres es igual a menos uno más i
- z3=-1+i
- z³=-1+i
- z en el grado 3=-1+i
-
Expresiones semejantes
- z^3=-1-i
- z^3-(1+i)/i=0
- z^3=+1+i
- (5-2*i)*(7+i)-(1+i)*x=5+4*i
z^3=-1+i la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{3} = -1 + i$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{-1 + i}$$
o
$$z = \sqrt[3]{-1 + i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: z = (-1 + i)^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = -1 + i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = -1 + i$$
donde
$$r = \sqrt[6]{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 + i\right)}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 + i\right)}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{12}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
$$z^{3} = -1 + i$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{-1 + i}$$
o
$$z = \sqrt[3]{-1 + i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
z = -1+i^1/3
Obtenemos la respuesta: z = (-1 + i)^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = -1 + i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = -1 + i$$
donde
$$r = \sqrt[6]{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 + i\right)}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 + i\right)}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{12}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 1 - i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 1 - i$$
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 1 - i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 1 - i$$
Gráfica
Respuesta rápida
[src]
2/3 2/3
2 I*2
z1 = ---- + ------
2 2
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
2/3 / 2/3 2/3 ___\ 2/3 ___
2 | 2 2 *\/ 3 | 2 *\/ 3
z2 = - ---- + I*|- ---- - ----------| + ----------
4 \ 4 4 / 4
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)$$
2/3 / 2/3 2/3 ___\ 2/3 ___
2 | 2 2 *\/ 3 | 2 *\/ 3
z3 = - ---- + I*|- ---- + ----------| - ----------
4 \ 4 4 / 4
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)$$
z3 = -2^(2/3)*sqrt(3)/4 - 2^(2/3)/4 + i*(-2^(2/3)/4 + 2^(2/3)*sqrt(3)/4)
Suma y producto de raíces
[src]
suma
2/3 2/3 2/3 / 2/3 2/3 ___\ 2/3 ___ 2/3 / 2/3 2/3 ___\ 2/3 ___ 2 I*2 2 | 2 2 *\/ 3 | 2 *\/ 3 2 | 2 2 *\/ 3 | 2 *\/ 3 ---- + ------ + - ---- + I*|- ---- - ----------| + ---------- + - ---- + I*|- ---- + ----------| - ---------- 2 2 4 \ 4 4 / 4 4 \ 4 4 / 4
$$\left(\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)\right)$$
=
/ 2/3 2/3 ___\ / 2/3 2/3 ___\ 2/3 | 2 2 *\/ 3 | | 2 2 *\/ 3 | I*2 I*|- ---- - ----------| + I*|- ---- + ----------| + ------ \ 4 4 / \ 4 4 / 2
$$i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right) + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right) + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
producto
/ 2/3 2/3\ / 2/3 / 2/3 2/3 ___\ 2/3 ___\ / 2/3 / 2/3 2/3 ___\ 2/3 ___\ |2 I*2 | | 2 | 2 2 *\/ 3 | 2 *\/ 3 | | 2 | 2 2 *\/ 3 | 2 *\/ 3 | |---- + ------|*|- ---- + I*|- ---- - ----------| + ----------|*|- ---- + I*|- ---- + ----------| - ----------| \ 2 2 / \ 4 \ 4 4 / 4 / \ 4 \ 4 4 / 4 /
$$\left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)\right)$$
=
-1 + I
$$-1 + i$$
-1 + i
Respuesta numérica
[src]
z1 = 0.290514555507251 - 1.08421508149135*i
z2 = 0.7937005259841 + 0.7937005259841*i
z3 = -1.08421508149135 + 0.290514555507251*i
z3 = -1.08421508149135 + 0.290514555507251*i