Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación 7x-15=4x-3(x-3)
-
Ecuación x^2-20=0
-
Ecuación z^2+4=0
-
Ecuación z^8-1=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -10*x+18*y=6
- 15*x+9*y=5
- 20*x-18*y=-11
- -14*x-16*y=14
-
Expresiones idénticas
- z^ ocho - uno = cero
- z en el grado 8 menos 1 es igual a 0
- z en el grado ocho menos uno es igual a cero
- z8-1=0
- z⁸-1=0
- z^8-1=O
-
Expresiones semejantes
- z^8+1=0
z^8-1=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{8} - 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 8 - contiene un número par 8 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 8 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[8]{z^{8}} = \sqrt[8]{1}$$
$$\sqrt[8]{z^{8}} = \left(-1\right) \sqrt[8]{1}$$
o
$$z = 1$$
$$z = -1$$
Obtenemos la respuesta: z = 1
Obtenemos la respuesta: z = -1
o
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
Las demás 6 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{8} = 1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{8} e^{8 i p} = 1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{8 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(8 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{4}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = 1$$
$$w_{3} = - i$$
$$w_{4} = i$$
$$w_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - i$$
$$z_{4} = i$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z^{8} - 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 8 - contiene un número par 8 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 8 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[8]{z^{8}} = \sqrt[8]{1}$$
$$\sqrt[8]{z^{8}} = \left(-1\right) \sqrt[8]{1}$$
o
$$z = 1$$
$$z = -1$$
Obtenemos la respuesta: z = 1
Obtenemos la respuesta: z = -1
o
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
Las demás 6 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{8} = 1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{8} e^{8 i p} = 1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{8 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(8 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{4}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = 1$$
$$w_{3} = - i$$
$$w_{4} = i$$
$$w_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - i$$
$$z_{4} = i$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
\/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2
-1 + 1 - I + I + - ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\left(\left(-1 + 1\right) - i\right) + i\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ ___ ___\ / ___ ___\ / ___ ___\ / ___ ___\
| \/ 2 I*\/ 2 | | \/ 2 I*\/ 2 | |\/ 2 I*\/ 2 | |\/ 2 I*\/ 2 |
-(-I)*I*|- ----- - -------|*|- ----- + -------|*|----- - -------|*|----- + -------|
\ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 /
$$i \left(- \left(-1\right) i\right) \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
=
-1
$$-1$$
-1
Respuesta rápida
[src]
z1 = -1
$$z_{1} = -1$$
z2 = 1
$$z_{2} = 1$$
z3 = -I
$$z_{3} = - i$$
z4 = I
$$z_{4} = i$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
z5 = - ----- - -------
2 2
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
z6 = - ----- + -------
2 2
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
z7 = ----- - -------
2 2
$$z_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
z8 = ----- + -------
2 2
$$z_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
z8 = sqrt(2)/2 + sqrt(2)*i/2
Respuesta numérica
[src]
z1 = 1.0
z2 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
z3 = -1.0
z4 = -0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
z5 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
z6 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
z7 = 1.0*i
z8 = -1.0*i
z8 = -1.0*i
Gráfico