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x^6-1=0

x^6-1=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src]
 6        
x  - 1 = 0
$$x^{6} - 1 = 0$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$x^{6} - 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 6 - contiene un número par 6 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 6 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[6]{x^{6}} = \sqrt[6]{1}$$
$$\sqrt[6]{x^{6}} = \left(-1\right) \sqrt[6]{1}$$
o
$$x = 1$$
$$x = -1$$
Obtenemos la respuesta: x = 1
Obtenemos la respuesta: x = -1
o
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{6} = 1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{6} e^{6 i p} = 1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Gráfica
Suma y producto de raíces [src]
suma
                   ___             ___           ___           ___
           1   I*\/ 3      1   I*\/ 3    1   I*\/ 3    1   I*\/ 3 
-1 + 1 + - - - ------- + - - + ------- + - - ------- + - + -------
           2      2        2      2      2      2      2      2   
$$\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(-1 + 1\right) + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
 /          ___\ /          ___\ /        ___\ /        ___\
 |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 |
-|- - - -------|*|- - + -------|*|- - -------|*|- + -------|
 \  2      2   / \  2      2   / \2      2   / \2      2   /
$$- (- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
-1
$$-1$$
-1
Respuesta rápida [src]
x1 = -1
$$x_{1} = -1$$
x2 = 1
$$x_{2} = 1$$
               ___
       1   I*\/ 3 
x3 = - - - -------
       2      2   
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
               ___
       1   I*\/ 3 
x4 = - - + -------
       2      2   
$$x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
             ___
     1   I*\/ 3 
x5 = - - -------
     2      2   
$$x_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
             ___
     1   I*\/ 3 
x6 = - + -------
     2      2   
$$x_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
x6 = 1/2 + sqrt(3)*i/2
Respuesta numérica [src]
x1 = 0.5 + 0.866025403784439*i
x2 = -0.5 - 0.866025403784439*i
x3 = 1.0
x4 = -0.5 + 0.866025403784439*i
x5 = -1.0
x6 = 0.5 - 0.866025403784439*i
x6 = 0.5 - 0.866025403784439*i
Gráfico
x^6-1=0 la ecuación