Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación 4x^2-12x=0
- Ecuación x^2-x-56=0
-
Ecuación 4x^2-25=0
-
Ecuación x^6-1=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -20*x+18*y=-11
- 15*x-14*y=19
- -20*x-18*y=-11
- -6*x-17*y=14
- Factorizar el polinomio:
- x^6-1
-
Expresiones idénticas
- x^ seis - uno = cero
- x en el grado 6 menos 1 es igual a 0
- x en el grado seis menos uno es igual a cero
- x6-1=0
- x⁶-1=0
- x^6-1=O
-
Expresiones semejantes
- x^6+1=0
x^6-1=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$x^{6} - 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 6 - contiene un número par 6 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 6 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[6]{x^{6}} = \sqrt[6]{1}$$
$$\sqrt[6]{x^{6}} = \left(-1\right) \sqrt[6]{1}$$
o
$$x = 1$$
$$x = -1$$
Obtenemos la respuesta: x = 1
Obtenemos la respuesta: x = -1
o
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{6} = 1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{6} e^{6 i p} = 1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x^{6} - 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 6 - contiene un número par 6 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 6 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[6]{x^{6}} = \sqrt[6]{1}$$
$$\sqrt[6]{x^{6}} = \left(-1\right) \sqrt[6]{1}$$
o
$$x = 1$$
$$x = -1$$
Obtenemos la respuesta: x = 1
Obtenemos la respuesta: x = -1
o
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{6} = 1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{6} e^{6 i p} = 1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___ ___ ___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3 1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
-1 + 1 + - - - ------- + - - + ------- + - - ------- + - + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(-1 + 1\right) + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ ___\ / ___\ / ___\ / ___\ | 1 I*\/ 3 | | 1 I*\/ 3 | |1 I*\/ 3 | |1 I*\/ 3 | -|- - - -------|*|- - + -------|*|- - -------|*|- + -------| \ 2 2 / \ 2 2 / \2 2 / \2 2 /
$$- (- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
-1
$$-1$$
-1
Respuesta rápida
[src]
x1 = -1
$$x_{1} = -1$$
x2 = 1
$$x_{2} = 1$$
___
1 I*\/ 3
x3 = - - - -------
2 2
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
1 I*\/ 3
x4 = - - + -------
2 2
$$x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
1 I*\/ 3
x5 = - - -------
2 2
$$x_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
1 I*\/ 3
x6 = - + -------
2 2
$$x_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
x6 = 1/2 + sqrt(3)*i/2
Respuesta numérica
[src]
x1 = 0.5 + 0.866025403784439*i
x2 = -0.5 - 0.866025403784439*i
x3 = 1.0
x4 = -0.5 + 0.866025403784439*i
x5 = -1.0
x6 = 0.5 - 0.866025403784439*i
x6 = 0.5 - 0.866025403784439*i
Gráfico