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x^6-1=0

x^6-1=0 la ecuación

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v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src] 
 6        
x  - 1 = 0
x6−1=0x^{6} - 1 = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
x6−1=0x^{6} - 1 = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 6 - contiene un número par 6 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 6 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
x66=16\sqrt[6]{x^{6}} = \sqrt[6]{1}
x66=(−1)16\sqrt[6]{x^{6}} = \left(-1\right) \sqrt[6]{1}
o
x=1x = 1
x=−1x = -1
Obtenemos la respuesta: x = 1
Obtenemos la respuesta: x = -1
o
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z=xz = x
entonces la ecuación será así:
z6=1z^{6} = 1
Cualquier número complejo se puede presentar que:
z=reipz = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r6e6ip=1r^{6} e^{6 i p} = 1
donde
r=1r = 1
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e6ip=1e^{6 i p} = 1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(6p)+cos⁡(6p)=1i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1
es decir
cos⁡(6p)=1\cos{\left(6 p \right)} = 1
y
sin⁡(6p)=0\sin{\left(6 p \right)} = 0
entonces
p=πN3p = \frac{\pi N}{3}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1=−1z_{1} = -1
z2=1z_{2} = 1
z3=−12−3i2z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
z4=−12+3i2z_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
z5=12−3i2z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
z6=12+3i2z_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
hacemos cambio inverso
z=xz = x
x=zx = z

Entonces la respuesta definitiva es:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
x3=−12−3i2x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
x4=−12+3i2x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
x5=12−3i2x_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}
x6=12+3i2x_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}
Gráfica
05-15-10-51015-20000002000000
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
                   ___             ___           ___           ___
           1   I*\/ 3      1   I*\/ 3    1   I*\/ 3    1   I*\/ 3 
-1 + 1 + - - - ------- + - - + ------- + - - ------- + - + -------
           2      2        2      2      2      2      2      2
((12−3i2)+(((−1+1)+(−12−3i2))+(−12+3i2)))+(12+3i2)\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(-1 + 1\right) + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) 
=
0
00 
producto
 /          ___\ /          ___\ /        ___\ /        ___\
 |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 |
-|- - - -------|*|- - + -------|*|- - -------|*|- + -------|
 \  2      2   / \  2      2   / \2      2   / \2      2   /
−(−12−3i2)(−12+3i2)(12−3i2)(12+3i2)- (- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) 
=
-1
−1-1 
-1
Respuesta rápida [src] 
x1 = -1
x1=−1x_{1} = -1 
x2 = 1
x2=1x_{2} = 1 
               ___
       1   I*\/ 3 
x3 = - - - -------
       2      2
x3=−12−3i2x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} 
               ___
       1   I*\/ 3 
x4 = - - + -------
       2      2
x4=−12+3i2x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} 
             ___
     1   I*\/ 3 
x5 = - - -------
     2      2
x5=12−3i2x_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} 
             ___
     1   I*\/ 3 
x6 = - + -------
     2      2
x6=12+3i2x_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} 
x6 = 1/2 + sqrt(3)*i/2
Respuesta numérica [src] 
x1 = 0.5 + 0.866025403784439*i
x2 = -0.5 - 0.866025403784439*i
x3 = 1.0
x4 = -0.5 + 0.866025403784439*i
x5 = -1.0
x6 = 0.5 - 0.866025403784439*i
x6 = 0.5 - 0.866025403784439*i
Gráfico
x^6-1=0 la ecuación
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