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x^6+1=0

x^6+1=0 la ecuación

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v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src] 
 6        
x  + 1 = 0
x6+1=0x^{6} + 1 = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
x6+1=0x^{6} + 1 = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 6 y miembro libre = -1 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 6 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z=xz = x
entonces la ecuación será así:
z6=−1z^{6} = -1
Cualquier número complejo se puede presentar que:
z=reipz = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r6e6ip=−1r^{6} e^{6 i p} = -1
donde
r=1r = 1
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e6ip=−1e^{6 i p} = -1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(6p)+cos⁡(6p)=−1i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1
es decir
cos⁡(6p)=−1\cos{\left(6 p \right)} = -1
y
sin⁡(6p)=0\sin{\left(6 p \right)} = 0
entonces
p=πN3+π6p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1=−iz_{1} = - i
z2=iz_{2} = i
z3=−32−i2z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}
z4=−32+i2z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}
z5=32−i2z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}
z6=32+i2z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}
hacemos cambio inverso
z=xz = x
x=zx = z

Entonces la respuesta definitiva es:
x1=−ix_{1} = - i
x2=ix_{2} = i
x3=−32−i2x_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}
x4=−32+i2x_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}
x5=32−i2x_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}
x6=32+i2x_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}
Gráfica
-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0020
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
                 ___         ___     ___             ___
           I   \/ 3    I   \/ 3    \/ 3    I   I   \/ 3 
-I + I + - - - ----- + - - ----- + ----- - - + - + -----
           2     2     2     2       2     2   2     2
((32−i2)+(((−32−i2)+(−i+i))+(−32+i2)))+(32+i2)\left(\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(- i + i\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) 
=
0
00 
producto
     /        ___\ /      ___\ /  ___    \ /      ___\
     |  I   \/ 3 | |I   \/ 3 | |\/ 3    I| |I   \/ 3 |
-I*I*|- - - -----|*|- - -----|*|----- - -|*|- + -----|
     \  2     2  / \2     2  / \  2     2/ \2     2  /
−ii(−32−i2)(−32+i2)(32−i2)(32+i2)- i i \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) 
=
1
11 
1
Respuesta rápida [src] 
x1 = -I
x1=−ix_{1} = - i 
x2 = I
x2=ix_{2} = i 
             ___
       I   \/ 3 
x3 = - - - -----
       2     2
x3=−32−i2x_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} 
           ___
     I   \/ 3 
x4 = - - -----
     2     2
x4=−32+i2x_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} 
       ___    
     \/ 3    I
x5 = ----- - -
       2     2
x5=32−i2x_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} 
           ___
     I   \/ 3 
x6 = - + -----
     2     2
x6=32+i2x_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} 
x6 = sqrt(3)/2 + i/2
Respuesta numérica [src] 
x1 = 0.866025403784439 + 0.5*i
x2 = -0.866025403784439 + 0.5*i
x3 = -0.866025403784439 - 0.5*i
x4 = 1.0*i
x5 = -1.0*i
x6 = 0.866025403784439 - 0.5*i
x6 = 0.866025403784439 - 0.5*i
Gráfico
x^6+1=0 la ecuación
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