Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(\left(i z^{2} - z \left(4 + i\right)\right) + 6\right) + 12 i = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$i z^{2} - 4 z - i z + 6 + 12 i = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*z^2 + b*z + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = i$$
$$b = -4 - i$$
$$c = 6 + 12 i$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-4 - i)^2 - 4 * (i) * (6 + 12*i) = (-4 - i)^2 - 4*i*(6 + 12*i)
La ecuación tiene dos raíces.
z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$z_{1} = - \frac{i \left(4 + \sqrt{- 4 i \left(6 + 12 i\right) + \left(-4 - i\right)^{2}} + i\right)}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{i \left(4 - \sqrt{- 4 i \left(6 + 12 i\right) + \left(-4 - i\right)^{2}} + i\right)}{2}$$