Sr Examen

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x^6=2

x^6=2 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

Buscar la solución numérica en el intervalo [, ]

Solución

Ha introducido [src] 
 6    
x  = 2
x6=2x^{6} = 2
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
x6=2x^{6} = 2
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 6 - contiene un número par 6 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 6 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
x66=26\sqrt[6]{x^{6}} = \sqrt[6]{2}
x66=(−1)26\sqrt[6]{x^{6}} = \left(-1\right) \sqrt[6]{2}
o
x=26x = \sqrt[6]{2}
x=−26x = - \sqrt[6]{2}
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = 2^1/6

Obtenemos la respuesta: x = 2^(1/6)
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = -2^1/6

Obtenemos la respuesta: x = -2^(1/6)
o
x1=−26x_{1} = - \sqrt[6]{2}
x2=26x_{2} = \sqrt[6]{2}

Las demás 4 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z=xz = x
entonces la ecuación será así:
z6=2z^{6} = 2
Cualquier número complejo se puede presentar que:
z=reipz = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r6e6ip=2r^{6} e^{6 i p} = 2
donde
r=26r = \sqrt[6]{2}
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e6ip=1e^{6 i p} = 1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(6p)+cos⁡(6p)=1i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1
es decir
cos⁡(6p)=1\cos{\left(6 p \right)} = 1
y
sin⁡(6p)=0\sin{\left(6 p \right)} = 0
entonces
p=πN3p = \frac{\pi N}{3}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1=−26z_{1} = - \sqrt[6]{2}
z2=26z_{2} = \sqrt[6]{2}
z3=−262−263i2z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}
z4=−262+263i2z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}
z5=262−263i2z_{5} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}
z6=262+263i2z_{6} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}
hacemos cambio inverso
z=xz = x
x=zx = z

Entonces la respuesta definitiva es:
x1=−26x_{1} = - \sqrt[6]{2}
x2=26x_{2} = \sqrt[6]{2}
x3=−262−263i2x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}
x4=−262+263i2x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}
x5=262−263i2x_{5} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}
x6=262+263i2x_{6} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}
Gráfica
05-15-10-5101502000000
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Respuesta rápida [src] 
      6 ___
x1 = -\/ 2
x1=−26x_{1} = - \sqrt[6]{2} 
     6 ___
x2 = \/ 2
x2=26x_{2} = \sqrt[6]{2} 
       6 ___     6 ___   ___
       \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
x3 = - ----- - -------------
         2           2
x3=−262−263i2x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2} 
       6 ___     6 ___   ___
       \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
x4 = - ----- + -------------
         2           2
x4=−262+263i2x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2} 
     6 ___     6 ___   ___
     \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
x5 = ----- - -------------
       2           2
x5=262−263i2x_{5} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2} 
     6 ___     6 ___   ___
     \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
x6 = ----- + -------------
       2           2
x6=262+263i2x_{6} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2} 
x6 = 2^(1/6)/2 + 2^(1/6)*sqrt(3)*i/2
Suma y producto de raíces [src] 
suma
                    6 ___     6 ___   ___     6 ___     6 ___   ___   6 ___     6 ___   ___   6 ___     6 ___   ___
  6 ___   6 ___     \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3      \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3    \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3    \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
- \/ 2  + \/ 2  + - ----- - ------------- + - ----- + ------------- + ----- - ------------- + ----- + -------------
                      2           2             2           2           2           2           2           2
((262−263i2)+(((−26+26)+(−262−263i2))+(−262+263i2)))+(262+263i2)\left(\left(\frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \sqrt[6]{2} + \sqrt[6]{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) 
=
0
00 
producto
             /  6 ___     6 ___   ___\ /  6 ___     6 ___   ___\ /6 ___     6 ___   ___\ /6 ___     6 ___   ___\
 6 ___ 6 ___ |  \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 | |  \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 | |\/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 | |\/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 |
-\/ 2 *\/ 2 *|- ----- - -------------|*|- ----- + -------------|*|----- - -------------|*|----- + -------------|
             \    2           2      / \    2           2      / \  2           2      / \  2           2      /
−2626(−262−263i2)(−262+263i2)(262−263i2)(262+263i2)- \sqrt[6]{2} \sqrt[6]{2} \left(- \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) 
=
-2
−2-2 
-2
Respuesta numérica [src] 
x1 = -0.561231024154687 - 0.972080648619833*i
x2 = 0.561231024154687 - 0.972080648619833*i
x3 = -0.561231024154687 + 0.972080648619833*i
x4 = 0.561231024154687 + 0.972080648619833*i
x5 = -1.12246204830937
x6 = 1.12246204830937
x6 = 1.12246204830937
Gráfico
x^6=2 la ecuación
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