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(x^(2)-4)/(x^(2)-9)
Trazado el gráfico de la función/ (x^(2)-4)/(x^(2)-9)

Gráfico de la función y = (x^(2)-4)/(x^(2)-9)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2    
       x  - 4
f(x) = ------
        2    
       x  - 9
f(x)=x2−4x2−9f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 9} 
f = (x^2 - 4)/(x^2 - 9)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2−4x2−9=0\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=−2x_{2} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 4)/(x^2 - 9).
−4+02−9+02\frac{-4 + 0^{2}}{-9 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=49f{\left(0 \right)} = \frac{4}{9}
Punto:
(0, 4/9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xx2−9−2x(x2−4)(x2−9)2=0\frac{2 x}{x^{2} - 9} - \frac{2 x \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 4/9)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−4x2x2−9+1+(x2−4)(4x2x2−9−1)x2−9)x2−9=0\frac{2 \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} + 1 + \frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9}\right)}{x^{2} - 9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−4x2−9)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 9}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x2−4x2−9)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 9}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 4)/(x^2 - 9), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2−4x(x2−9))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x2−4x(x2−9))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 4}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2−4x2−9=x2−4x2−9\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 9} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 9}
- Sí
x2−4x2−9=−x2−4x2−9\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 9} = - \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 9}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^(2)-4)/(x^(2)-9)
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