Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
(3*x-4)^40/(x^2-2)^36
-
y=x^2-x
- Límite de la función:
-
(1-1/x)^x
-
Expresiones idénticas
- (uno - uno /x)^x
- (1 menos 1 dividir por x) en el grado x
- (uno menos uno dividir por x) en el grado x
- (1-1/x)x
- 1-1/xx
- 1-1/x^x
- (1-1 dividir por x)^x
-
Expresiones semejantes
- (1+1/x)^x
Gráfico de la función y = (1-1/x)^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/ 1\
f(x) = |1 - -|
\ x/
$$f{\left(x \right)} = \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x}$$
f = (1 - 1/x)^x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -446205.390765259$$
$$x_{2} = -395649.855408298$$
$$x_{3} = -425983.188543506$$
$$x_{4} = -506871.922975893$$
$$x_{5} = -415872.081761733$$
$$x_{6} = 463780.265363065$$
$$x_{7} = -385538.735166325$$
$$x_{8} = 453669.171566701$$
$$x_{9} = 484002.444113993$$
$$x_{10} = 382891.410657688$$
$$x_{11} = 393002.532552592$$
$$x_{12} = 413224.761856419$$
$$x_{13} = -486649.756435507$$
$$x_{14} = 403113.649497621$$
$$x_{15} = -476538.669350763$$
$$x_{16} = -496760.840925489$$
$$x_{17} = 494113.52943066$$
$$x_{18} = 443558.074554133$$
$$x_{19} = -405760.970822819$$
$$x_{20} = 423335.869957862$$
$$x_{21} = -466427.579502624$$
$$x_{22} = -456316.486707521$$
$$x_{23} = -436094.291457089$$
$$x_{24} = 504224.612258643$$
$$x_{25} = 473891.356149235$$
$$x_{26} = 433446.974100115$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 382891.410657688$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 463780.265363065$$
Decrece en los intervalos
$$\left[382891.410657688, 463780.265363065\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 382891.410657688\right] \cup \left[463780.265363065, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -446205.390765259$$
$$x_{2} = -395649.855408298$$
$$x_{3} = -425983.188543506$$
$$x_{4} = -506871.922975893$$
$$x_{5} = -415872.081761733$$
$$x_{6} = 463780.265363065$$
$$x_{7} = -385538.735166325$$
$$x_{8} = 453669.171566701$$
$$x_{9} = 484002.444113993$$
$$x_{10} = 382891.410657688$$
$$x_{11} = 393002.532552592$$
$$x_{12} = 413224.761856419$$
$$x_{13} = -486649.756435507$$
$$x_{14} = 403113.649497621$$
$$x_{15} = -476538.669350763$$
$$x_{16} = -496760.840925489$$
$$x_{17} = 494113.52943066$$
$$x_{18} = 443558.074554133$$
$$x_{19} = -405760.970822819$$
$$x_{20} = 423335.869957862$$
$$x_{21} = -466427.579502624$$
$$x_{22} = -456316.486707521$$
$$x_{23} = -436094.291457089$$
$$x_{24} = 504224.612258643$$
$$x_{25} = 473891.356149235$$
$$x_{26} = 433446.974100115$$
Signos de extremos en los puntos:
(-446205.3907652594, 0.36787985338883)
(-395649.85540829843, 0.367879906062726)
(-425983.1885435059, 0.367879872978999)
(-506871.9229758931, 0.367879804045808)
(-415872.08176173293, 0.367879883460175)
(463780.26536306547, 0.367879044570802)
(-385538.73516632465, 0.367879918279671)
(453669.1715667014, 0.367879035728391)
(484002.44411399314, 0.367879061137967)
(382891.41065768834, 0.367878960767033)
(393002.53255259193, 0.367878973133729)
(413224.7618564189, 0.367878996045807)
(-486649.75643550686, 0.36787981916091)
(403113.64949762064, 0.367878984869242)
(-476538.6693507628, 0.367879827153308)
(-496760.8409254886, 0.367879811434806)
(494113.5294306597, 0.367879068915001)
(443558.0745541333, 0.367879026483251)
(-405760.97082281887, 0.367879894494288)
(423335.8699578621, 0.367879006662918)
(-466427.57950262376, 0.367879835523041)
(-456316.4867075213, 0.36787984427057)
(-436094.29145708866, 0.367879862963462)
(504224.6122586435, 0.367879076373255)
(473891.35614923516, 0.367879053024202)
(433446.9741001146, 0.3678790167995)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 382891.410657688$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 463780.265363065$$
Decrece en los intervalos
$$\left[382891.410657688, 463780.265363065\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 382891.410657688\right] \cup \left[463780.265363065, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 20231.3338744803$$
$$x_{2} = 24469.462030185$$
$$x_{3} = 16840.7925019453$$
$$x_{4} = 23621.8394745088$$
$$x_{5} = 34640.862699041$$
$$x_{6} = 6668.40513629039$$
$$x_{7} = 29555.1752714771$$
$$x_{8} = -17061.9071414921$$
$$x_{9} = 21926.5901072076$$
$$x_{10} = -12823.6458097293$$
$$x_{11} = -22995.3245077573$$
$$x_{12} = -24690.5700645091$$
$$x_{13} = 39726.5342355237$$
$$x_{14} = 27859.9410915599$$
$$x_{15} = 21078.9629527246$$
$$x_{16} = 31250.4066591248$$
$$x_{17} = 19383.7026196374$$
$$x_{18} = -20452.4446649775$$
$$x_{19} = -16214.2648977619$$
$$x_{20} = -14518.9671277704$$
$$x_{21} = 41421.7555621959$$
$$x_{22} = -13671.3099584391$$
$$x_{23} = -42490.4698978151$$
$$x_{24} = -25538.1909990803$$
$$x_{25} = 28707.5585615069$$
$$x_{26} = 32945.6356859984$$
$$x_{27} = 40574.1450332452$$
$$x_{28} = 11754.8454497081$$
$$x_{29} = -23842.9479443711$$
$$x_{30} = 38031.3117618196$$
$$x_{31} = 12602.5213705401$$
$$x_{32} = 14297.847649324$$
$$x_{33} = -8585.14829561246$$
$$x_{34} = 36336.087980387$$
$$x_{35} = 10907.1583501646$$
$$x_{36} = -27233.4297537703$$
$$x_{37} = 8363.99584111885$$
$$x_{38} = -31471.5123830889$$
$$x_{39} = 35488.4755406506$$
$$x_{40} = 27012.3227900003$$
$$x_{41} = 32098.0214442547$$
$$x_{42} = -39100.0275763608$$
$$x_{43} = -28928.6649635067$$
$$x_{44} = -18757.1813422737$$
$$x_{45} = 10059.4572356146$$
$$x_{46} = 15993.148897223$$
$$x_{47} = -38252.4162937265$$
$$x_{48} = 33793.2494252869$$
$$x_{49} = -30623.8972163463$$
$$x_{50} = -34861.9677400241$$
$$x_{51} = -17909.5457943474$$
$$x_{52} = 37183.7000457587$$
$$x_{53} = -11128.290213539$$
$$x_{54} = 26164.7035758972$$
$$x_{55} = -10280.5942786961$$
$$x_{56} = 30402.7912851079$$
$$x_{57} = -36557.1927490853$$
$$x_{58} = -35709.5804406297$$
$$x_{59} = 25317.0833574658$$
$$x_{60} = 22774.2155530657$$
$$x_{61} = -9432.88192147114$$
$$x_{62} = 17688.4323259884$$
$$x_{63} = -6889.58598095843$$
$$x_{64} = -41642.859704536$$
$$x_{65} = -29776.2814280103$$
$$x_{66} = 15145.5008755363$$
$$x_{67} = 7516.22214915919$$
$$x_{68} = -33166.7410422247$$
$$x_{69} = -21300.073057439$$
$$x_{70} = -34014.3546179817$$
$$x_{71} = -39947.6385602212$$
$$x_{72} = 9211.73822146547$$
$$x_{73} = -28081.0477616799$$
$$x_{74} = -37404.8046920256$$
$$x_{75} = -19604.814187316$$
$$x_{76} = -7737.38643960701$$
$$x_{77} = 38878.9231514367$$
$$x_{78} = 18536.06888902$$
$$x_{79} = -26385.8108621939$$
$$x_{80} = -11975.973203732$$
$$x_{81} = -32319.1269770931$$
$$x_{82} = -40795.249263915$$
$$x_{83} = 42269.3658385577$$
$$x_{84} = -15366.618470219$$
$$x_{85} = -22147.6996037482$$
$$x_{86} = 13450.1882319474$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[40574.1450332452, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -36557.1927490853\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 20231.3338744803$$
$$x_{2} = 24469.462030185$$
$$x_{3} = 16840.7925019453$$
$$x_{4} = 23621.8394745088$$
$$x_{5} = 34640.862699041$$
$$x_{6} = 6668.40513629039$$
$$x_{7} = 29555.1752714771$$
$$x_{8} = -17061.9071414921$$
$$x_{9} = 21926.5901072076$$
$$x_{10} = -12823.6458097293$$
$$x_{11} = -22995.3245077573$$
$$x_{12} = -24690.5700645091$$
$$x_{13} = 39726.5342355237$$
$$x_{14} = 27859.9410915599$$
$$x_{15} = 21078.9629527246$$
$$x_{16} = 31250.4066591248$$
$$x_{17} = 19383.7026196374$$
$$x_{18} = -20452.4446649775$$
$$x_{19} = -16214.2648977619$$
$$x_{20} = -14518.9671277704$$
$$x_{21} = 41421.7555621959$$
$$x_{22} = -13671.3099584391$$
$$x_{23} = -42490.4698978151$$
$$x_{24} = -25538.1909990803$$
$$x_{25} = 28707.5585615069$$
$$x_{26} = 32945.6356859984$$
$$x_{27} = 40574.1450332452$$
$$x_{28} = 11754.8454497081$$
$$x_{29} = -23842.9479443711$$
$$x_{30} = 38031.3117618196$$
$$x_{31} = 12602.5213705401$$
$$x_{32} = 14297.847649324$$
$$x_{33} = -8585.14829561246$$
$$x_{34} = 36336.087980387$$
$$x_{35} = 10907.1583501646$$
$$x_{36} = -27233.4297537703$$
$$x_{37} = 8363.99584111885$$
$$x_{38} = -31471.5123830889$$
$$x_{39} = 35488.4755406506$$
$$x_{40} = 27012.3227900003$$
$$x_{41} = 32098.0214442547$$
$$x_{42} = -39100.0275763608$$
$$x_{43} = -28928.6649635067$$
$$x_{44} = -18757.1813422737$$
$$x_{45} = 10059.4572356146$$
$$x_{46} = 15993.148897223$$
$$x_{47} = -38252.4162937265$$
$$x_{48} = 33793.2494252869$$
$$x_{49} = -30623.8972163463$$
$$x_{50} = -34861.9677400241$$
$$x_{51} = -17909.5457943474$$
$$x_{52} = 37183.7000457587$$
$$x_{53} = -11128.290213539$$
$$x_{54} = 26164.7035758972$$
$$x_{55} = -10280.5942786961$$
$$x_{56} = 30402.7912851079$$
$$x_{57} = -36557.1927490853$$
$$x_{58} = -35709.5804406297$$
$$x_{59} = 25317.0833574658$$
$$x_{60} = 22774.2155530657$$
$$x_{61} = -9432.88192147114$$
$$x_{62} = 17688.4323259884$$
$$x_{63} = -6889.58598095843$$
$$x_{64} = -41642.859704536$$
$$x_{65} = -29776.2814280103$$
$$x_{66} = 15145.5008755363$$
$$x_{67} = 7516.22214915919$$
$$x_{68} = -33166.7410422247$$
$$x_{69} = -21300.073057439$$
$$x_{70} = -34014.3546179817$$
$$x_{71} = -39947.6385602212$$
$$x_{72} = 9211.73822146547$$
$$x_{73} = -28081.0477616799$$
$$x_{74} = -37404.8046920256$$
$$x_{75} = -19604.814187316$$
$$x_{76} = -7737.38643960701$$
$$x_{77} = 38878.9231514367$$
$$x_{78} = 18536.06888902$$
$$x_{79} = -26385.8108621939$$
$$x_{80} = -11975.973203732$$
$$x_{81} = -32319.1269770931$$
$$x_{82} = -40795.249263915$$
$$x_{83} = 42269.3658385577$$
$$x_{84} = -15366.618470219$$
$$x_{85} = -22147.6996037482$$
$$x_{86} = 13450.1882319474$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[40574.1450332452, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -36557.1927490853\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = e^{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = e^{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = e^{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = e^{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = e^{-1}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - 1/x)^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{- x}$$
- No
$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = - \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{- x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{- x}$$
- No
$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = - \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{- x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar