Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=-x^3+3x-2 y=-x^3+3x-2
  • y=(x+1)^3 y=(x+1)^3
  • 2*x^2-6*x 2*x^2-6*x
  • y=2x y=2x
  • Límite de la función:
  • (1-1/x)^x (1-1/x)^x

  • Expresiones idénticas

  • (uno - uno /x)^x
  • (1 menos 1 dividir por x) en el grado x
  • (uno menos uno dividir por x) en el grado x
  • (1-1/x)x
  • 1-1/xx
  • 1-1/x^x
  • (1-1 dividir por x)^x

  • Expresiones semejantes

  • (1+1/x)^x
Trazado el gráfico de la función/ (1-1/x)^x

Gráfico de la función y = (1-1/x)^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              x
       /    1\ 
f(x) = |1 - -| 
       \    x/
f(x)=(1−1x)xf{\left(x \right)} = \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} 
f = (1 - 1/x)^x
Gráfico de la función
5.01.01.52.02.53.03.54.04.50.00.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(1−1x)x=0\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 - 1/x)^x.
(1−10)0\left(1 - \frac{1}{0}\right)^{0}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1−1x)x(log⁡(1−1x)+1x(1−1x))=0\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−446205.390765259x_{1} = -446205.390765259
x2=−395649.855408298x_{2} = -395649.855408298
x3=−425983.188543506x_{3} = -425983.188543506
x4=−506871.922975893x_{4} = -506871.922975893
x5=−415872.081761733x_{5} = -415872.081761733
x6=463780.265363065x_{6} = 463780.265363065
x7=−385538.735166325x_{7} = -385538.735166325
x8=453669.171566701x_{8} = 453669.171566701
x9=484002.444113993x_{9} = 484002.444113993
x10=382891.410657688x_{10} = 382891.410657688
x11=393002.532552592x_{11} = 393002.532552592
x12=413224.761856419x_{12} = 413224.761856419
x13=−486649.756435507x_{13} = -486649.756435507
x14=403113.649497621x_{14} = 403113.649497621
x15=−476538.669350763x_{15} = -476538.669350763
x16=−496760.840925489x_{16} = -496760.840925489
x17=494113.52943066x_{17} = 494113.52943066
x18=443558.074554133x_{18} = 443558.074554133
x19=−405760.970822819x_{19} = -405760.970822819
x20=423335.869957862x_{20} = 423335.869957862
x21=−466427.579502624x_{21} = -466427.579502624
x22=−456316.486707521x_{22} = -456316.486707521
x23=−436094.291457089x_{23} = -436094.291457089
x24=504224.612258643x_{24} = 504224.612258643
x25=473891.356149235x_{25} = 473891.356149235
x26=433446.974100115x_{26} = 433446.974100115
Signos de extremos en los puntos:
(-446205.3907652594, 0.36787985338883)

(-395649.85540829843, 0.367879906062726)

(-425983.1885435059, 0.367879872978999)

(-506871.9229758931, 0.367879804045808)

(-415872.08176173293, 0.367879883460175)

(463780.26536306547, 0.367879044570802)

(-385538.73516632465, 0.367879918279671)

(453669.1715667014, 0.367879035728391)

(484002.44411399314, 0.367879061137967)

(382891.41065768834, 0.367878960767033)

(393002.53255259193, 0.367878973133729)

(413224.7618564189, 0.367878996045807)

(-486649.75643550686, 0.36787981916091)

(403113.64949762064, 0.367878984869242)

(-476538.6693507628, 0.367879827153308)

(-496760.8409254886, 0.367879811434806)

(494113.5294306597, 0.367879068915001)

(443558.0745541333, 0.367879026483251)

(-405760.97082281887, 0.367879894494288)

(423335.8699578621, 0.367879006662918)

(-466427.57950262376, 0.367879835523041)

(-456316.4867075213, 0.36787984427057)

(-436094.29145708866, 0.367879862963462)

(504224.6122586435, 0.367879076373255)

(473891.35614923516, 0.367879053024202)

(433446.9741001146, 0.3678790167995)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=382891.410657688x_{1} = 382891.410657688
Puntos máximos de la función:
x1=463780.265363065x_{1} = 463780.265363065
Decrece en los intervalos
[382891.410657688,463780.265363065]\left[382891.410657688, 463780.265363065\right]
Crece en los intervalos
(−∞,382891.410657688]∪[463780.265363065,∞)\left(-\infty, 382891.410657688\right] \cup \left[463780.265363065, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1−1x)x((log⁡(1−1x)+1x(1−1x))2−1x3(1−1x)2)=0\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=20231.3338744803x_{1} = 20231.3338744803
x2=24469.462030185x_{2} = 24469.462030185
x3=16840.7925019453x_{3} = 16840.7925019453
x4=23621.8394745088x_{4} = 23621.8394745088
x5=34640.862699041x_{5} = 34640.862699041
x6=6668.40513629039x_{6} = 6668.40513629039
x7=29555.1752714771x_{7} = 29555.1752714771
x8=−17061.9071414921x_{8} = -17061.9071414921
x9=21926.5901072076x_{9} = 21926.5901072076
x10=−12823.6458097293x_{10} = -12823.6458097293
x11=−22995.3245077573x_{11} = -22995.3245077573
x12=−24690.5700645091x_{12} = -24690.5700645091
x13=39726.5342355237x_{13} = 39726.5342355237
x14=27859.9410915599x_{14} = 27859.9410915599
x15=21078.9629527246x_{15} = 21078.9629527246
x16=31250.4066591248x_{16} = 31250.4066591248
x17=19383.7026196374x_{17} = 19383.7026196374
x18=−20452.4446649775x_{18} = -20452.4446649775
x19=−16214.2648977619x_{19} = -16214.2648977619
x20=−14518.9671277704x_{20} = -14518.9671277704
x21=41421.7555621959x_{21} = 41421.7555621959
x22=−13671.3099584391x_{22} = -13671.3099584391
x23=−42490.4698978151x_{23} = -42490.4698978151
x24=−25538.1909990803x_{24} = -25538.1909990803
x25=28707.5585615069x_{25} = 28707.5585615069
x26=32945.6356859984x_{26} = 32945.6356859984
x27=40574.1450332452x_{27} = 40574.1450332452
x28=11754.8454497081x_{28} = 11754.8454497081
x29=−23842.9479443711x_{29} = -23842.9479443711
x30=38031.3117618196x_{30} = 38031.3117618196
x31=12602.5213705401x_{31} = 12602.5213705401
x32=14297.847649324x_{32} = 14297.847649324
x33=−8585.14829561246x_{33} = -8585.14829561246
x34=36336.087980387x_{34} = 36336.087980387
x35=10907.1583501646x_{35} = 10907.1583501646
x36=−27233.4297537703x_{36} = -27233.4297537703
x37=8363.99584111885x_{37} = 8363.99584111885
x38=−31471.5123830889x_{38} = -31471.5123830889
x39=35488.4755406506x_{39} = 35488.4755406506
x40=27012.3227900003x_{40} = 27012.3227900003
x41=32098.0214442547x_{41} = 32098.0214442547
x42=−39100.0275763608x_{42} = -39100.0275763608
x43=−28928.6649635067x_{43} = -28928.6649635067
x44=−18757.1813422737x_{44} = -18757.1813422737
x45=10059.4572356146x_{45} = 10059.4572356146
x46=15993.148897223x_{46} = 15993.148897223
x47=−38252.4162937265x_{47} = -38252.4162937265
x48=33793.2494252869x_{48} = 33793.2494252869
x49=−30623.8972163463x_{49} = -30623.8972163463
x50=−34861.9677400241x_{50} = -34861.9677400241
x51=−17909.5457943474x_{51} = -17909.5457943474
x52=37183.7000457587x_{52} = 37183.7000457587
x53=−11128.290213539x_{53} = -11128.290213539
x54=26164.7035758972x_{54} = 26164.7035758972
x55=−10280.5942786961x_{55} = -10280.5942786961
x56=30402.7912851079x_{56} = 30402.7912851079
x57=−36557.1927490853x_{57} = -36557.1927490853
x58=−35709.5804406297x_{58} = -35709.5804406297
x59=25317.0833574658x_{59} = 25317.0833574658
x60=22774.2155530657x_{60} = 22774.2155530657
x61=−9432.88192147114x_{61} = -9432.88192147114
x62=17688.4323259884x_{62} = 17688.4323259884
x63=−6889.58598095843x_{63} = -6889.58598095843
x64=−41642.859704536x_{64} = -41642.859704536
x65=−29776.2814280103x_{65} = -29776.2814280103
x66=15145.5008755363x_{66} = 15145.5008755363
x67=7516.22214915919x_{67} = 7516.22214915919
x68=−33166.7410422247x_{68} = -33166.7410422247
x69=−21300.073057439x_{69} = -21300.073057439
x70=−34014.3546179817x_{70} = -34014.3546179817
x71=−39947.6385602212x_{71} = -39947.6385602212
x72=9211.73822146547x_{72} = 9211.73822146547
x73=−28081.0477616799x_{73} = -28081.0477616799
x74=−37404.8046920256x_{74} = -37404.8046920256
x75=−19604.814187316x_{75} = -19604.814187316
x76=−7737.38643960701x_{76} = -7737.38643960701
x77=38878.9231514367x_{77} = 38878.9231514367
x78=18536.06888902x_{78} = 18536.06888902
x79=−26385.8108621939x_{79} = -26385.8108621939
x80=−11975.973203732x_{80} = -11975.973203732
x81=−32319.1269770931x_{81} = -32319.1269770931
x82=−40795.249263915x_{82} = -40795.249263915
x83=42269.3658385577x_{83} = 42269.3658385577
x84=−15366.618470219x_{84} = -15366.618470219
x85=−22147.6996037482x_{85} = -22147.6996037482
x86=13450.1882319474x_{86} = 13450.1882319474
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−((1−1x)x((log⁡(1−1x)+1x(1−1x))2−1x3(1−1x)2))=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)\right) = \infty
lim⁡x→0+((1−1x)x((log⁡(1−1x)+1x(1−1x))2−1x3(1−1x)2))=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 - \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[40574.1450332452,∞)\left[40574.1450332452, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−36557.1927490853]\left(-\infty, -36557.1927490853\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1−1x)x=e−1\lim_{x \to -\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = e^{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=e−1y = e^{-1}
lim⁡x→∞(1−1x)x=e−1\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = e^{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=e−1y = e^{-1}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - 1/x)^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((1−1x)xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((1−1x)xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(1−1x)x=(1+1x)−x\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{- x}
- No
(1−1x)x=−(1+1x)−x\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} = - \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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