Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
- Límite de la función:
-
(1+1/x)^x
- Derivada de:
-
(1+1/x)^x
-
Expresiones idénticas
- (uno + uno /x)^x
- (1 más 1 dividir por x) en el grado x
- (uno más uno dividir por x) en el grado x
- (1+1/x)x
- 1+1/xx
- 1+1/x^x
- (1+1 dividir por x)^x
-
Expresiones semejantes
- (1-1/x)^x
Gráfico de la función y = (1+1/x)^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/ 1\
f(x) = |1 + -|
\ x/
$$f{\left(x \right)} = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}$$
f = (1 + 1/x)^x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -32603.0029015533$$
$$x_{2} = -25822.0715741889$$
$$x_{3} = -17345.8028575739$$
$$x_{4} = 32661.7597341999$$
$$x_{5} = 22490.3308415169$$
$$x_{6} = 23337.955952282$$
$$x_{7} = 34356.9875063156$$
$$x_{8} = -21583.9590070957$$
$$x_{9} = -29212.5428110193$$
$$x_{10} = -14802.8731155008$$
$$x_{11} = -41079.1222881302$$
$$x_{12} = 28423.680081099$$
$$x_{13} = 19947.4446371373$$
$$x_{14} = 41137.8825243059$$
$$x_{15} = 25880.8229458006$$
$$x_{16} = -24126.8303330335$$
$$x_{17} = 30118.9139448893$$
$$x_{18} = 40290.2717841837$$
$$x_{19} = -15650.5204757203$$
$$x_{20} = 15709.2466452791$$
$$x_{21} = -18193.4390023058$$
$$x_{22} = 29271.2973859717$$
$$x_{23} = 20795.0754100518$$
$$x_{24} = -35145.8425719073$$
$$x_{25} = -30907.7740234428$$
$$x_{26} = -40231.511794726$$
$$x_{27} = 21642.7040634568$$
$$x_{28} = 39442.6607615094$$
$$x_{29} = -23279.2079549641$$
$$x_{30} = -41926.7325310699$$
$$x_{31} = 19099.8114562427$$
$$x_{32} = -39383.9010348589$$
$$x_{33} = -20736.3321015566$$
$$x_{34} = -13955.2206731492$$
$$x_{35} = 24185.579574126$$
$$x_{36} = 13166.2714284169$$
$$x_{37} = -19888.7033044357$$
$$x_{38} = 36899.825801224$$
$$x_{39} = -34298.2297872224$$
$$x_{40} = -19041.0723686904$$
$$x_{41} = 38595.0494374625$$
$$x_{42} = -33450.616574749$$
$$x_{43} = 31814.1450665273$$
$$x_{44} = 18252.1755240654$$
$$x_{45} = -27517.3088394564$$
$$x_{46} = 35204.6006869398$$
$$x_{47} = 36052.2134420221$$
$$x_{48} = -38536.2899911387$$
$$x_{49} = 14861.5945966479$$
$$x_{50} = -24974.4515003467$$
$$x_{51} = 30966.5298199452$$
$$x_{52} = -22431.5842314588$$
$$x_{53} = 25033.2018608561$$
$$x_{54} = 33509.3738674487$$
$$x_{55} = 27576.061960426$$
$$x_{56} = 16556.8936721197$$
$$x_{57} = -35993.4549586719$$
$$x_{58} = 17404.5364287932$$
$$x_{59} = -37688.678644628$$
$$x_{60} = -16498.163517153$$
$$x_{61} = 42833.1032246534$$
$$x_{62} = -36841.0669746669$$
$$x_{63} = -31755.388731232$$
$$x_{64} = 26728.4429451077$$
$$x_{65} = 14013.9365872336$$
$$x_{66} = -13107.5621941971$$
$$x_{67} = 37747.4377915133$$
$$x_{68} = 41985.4929991613$$
$$x_{69} = -30060.1587333573$$
$$x_{70} = -28364.92620059$$
$$x_{71} = -26669.6906571714$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[41137.8825243059, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -40231.511794726\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -32603.0029015533$$
$$x_{2} = -25822.0715741889$$
$$x_{3} = -17345.8028575739$$
$$x_{4} = 32661.7597341999$$
$$x_{5} = 22490.3308415169$$
$$x_{6} = 23337.955952282$$
$$x_{7} = 34356.9875063156$$
$$x_{8} = -21583.9590070957$$
$$x_{9} = -29212.5428110193$$
$$x_{10} = -14802.8731155008$$
$$x_{11} = -41079.1222881302$$
$$x_{12} = 28423.680081099$$
$$x_{13} = 19947.4446371373$$
$$x_{14} = 41137.8825243059$$
$$x_{15} = 25880.8229458006$$
$$x_{16} = -24126.8303330335$$
$$x_{17} = 30118.9139448893$$
$$x_{18} = 40290.2717841837$$
$$x_{19} = -15650.5204757203$$
$$x_{20} = 15709.2466452791$$
$$x_{21} = -18193.4390023058$$
$$x_{22} = 29271.2973859717$$
$$x_{23} = 20795.0754100518$$
$$x_{24} = -35145.8425719073$$
$$x_{25} = -30907.7740234428$$
$$x_{26} = -40231.511794726$$
$$x_{27} = 21642.7040634568$$
$$x_{28} = 39442.6607615094$$
$$x_{29} = -23279.2079549641$$
$$x_{30} = -41926.7325310699$$
$$x_{31} = 19099.8114562427$$
$$x_{32} = -39383.9010348589$$
$$x_{33} = -20736.3321015566$$
$$x_{34} = -13955.2206731492$$
$$x_{35} = 24185.579574126$$
$$x_{36} = 13166.2714284169$$
$$x_{37} = -19888.7033044357$$
$$x_{38} = 36899.825801224$$
$$x_{39} = -34298.2297872224$$
$$x_{40} = -19041.0723686904$$
$$x_{41} = 38595.0494374625$$
$$x_{42} = -33450.616574749$$
$$x_{43} = 31814.1450665273$$
$$x_{44} = 18252.1755240654$$
$$x_{45} = -27517.3088394564$$
$$x_{46} = 35204.6006869398$$
$$x_{47} = 36052.2134420221$$
$$x_{48} = -38536.2899911387$$
$$x_{49} = 14861.5945966479$$
$$x_{50} = -24974.4515003467$$
$$x_{51} = 30966.5298199452$$
$$x_{52} = -22431.5842314588$$
$$x_{53} = 25033.2018608561$$
$$x_{54} = 33509.3738674487$$
$$x_{55} = 27576.061960426$$
$$x_{56} = 16556.8936721197$$
$$x_{57} = -35993.4549586719$$
$$x_{58} = 17404.5364287932$$
$$x_{59} = -37688.678644628$$
$$x_{60} = -16498.163517153$$
$$x_{61} = 42833.1032246534$$
$$x_{62} = -36841.0669746669$$
$$x_{63} = -31755.388731232$$
$$x_{64} = 26728.4429451077$$
$$x_{65} = 14013.9365872336$$
$$x_{66} = -13107.5621941971$$
$$x_{67} = 37747.4377915133$$
$$x_{68} = 41985.4929991613$$
$$x_{69} = -30060.1587333573$$
$$x_{70} = -28364.92620059$$
$$x_{71} = -26669.6906571714$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[41137.8825243059, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -40231.511794726\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = e$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = e$$
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = e$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = e$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 + 1/x)^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{- x}$$
- No
$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = - \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{- x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{- x}$$
- No
$$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = - \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{- x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico