Sr Examen

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(1+1/x)^x
Trazado el gráfico de la función/ (1+1/x)^x

Gráfico de la función y = (1+1/x)^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              x
       /    1\ 
f(x) = |1 + -| 
       \    x/
f(x)=(1+1x)xf{\left(x \right)} = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} 
f = (1 + 1/x)^x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010025
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(1+1x)x=0\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 + 1/x)^x.
(10+1)0\left(\frac{1}{0} + 1\right)^{0}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1+1x)x(log⁡(1+1x)−1x(1+1x))=0\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+1x)x((log⁡(1+1x)−1x(1+1x))2−1x3(1+1x)2)=0\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32603.0029015533x_{1} = -32603.0029015533
x2=−25822.0715741889x_{2} = -25822.0715741889
x3=−17345.8028575739x_{3} = -17345.8028575739
x4=32661.7597341999x_{4} = 32661.7597341999
x5=22490.3308415169x_{5} = 22490.3308415169
x6=23337.955952282x_{6} = 23337.955952282
x7=34356.9875063156x_{7} = 34356.9875063156
x8=−21583.9590070957x_{8} = -21583.9590070957
x9=−29212.5428110193x_{9} = -29212.5428110193
x10=−14802.8731155008x_{10} = -14802.8731155008
x11=−41079.1222881302x_{11} = -41079.1222881302
x12=28423.680081099x_{12} = 28423.680081099
x13=19947.4446371373x_{13} = 19947.4446371373
x14=41137.8825243059x_{14} = 41137.8825243059
x15=25880.8229458006x_{15} = 25880.8229458006
x16=−24126.8303330335x_{16} = -24126.8303330335
x17=30118.9139448893x_{17} = 30118.9139448893
x18=40290.2717841837x_{18} = 40290.2717841837
x19=−15650.5204757203x_{19} = -15650.5204757203
x20=15709.2466452791x_{20} = 15709.2466452791
x21=−18193.4390023058x_{21} = -18193.4390023058
x22=29271.2973859717x_{22} = 29271.2973859717
x23=20795.0754100518x_{23} = 20795.0754100518
x24=−35145.8425719073x_{24} = -35145.8425719073
x25=−30907.7740234428x_{25} = -30907.7740234428
x26=−40231.511794726x_{26} = -40231.511794726
x27=21642.7040634568x_{27} = 21642.7040634568
x28=39442.6607615094x_{28} = 39442.6607615094
x29=−23279.2079549641x_{29} = -23279.2079549641
x30=−41926.7325310699x_{30} = -41926.7325310699
x31=19099.8114562427x_{31} = 19099.8114562427
x32=−39383.9010348589x_{32} = -39383.9010348589
x33=−20736.3321015566x_{33} = -20736.3321015566
x34=−13955.2206731492x_{34} = -13955.2206731492
x35=24185.579574126x_{35} = 24185.579574126
x36=13166.2714284169x_{36} = 13166.2714284169
x37=−19888.7033044357x_{37} = -19888.7033044357
x38=36899.825801224x_{38} = 36899.825801224
x39=−34298.2297872224x_{39} = -34298.2297872224
x40=−19041.0723686904x_{40} = -19041.0723686904
x41=38595.0494374625x_{41} = 38595.0494374625
x42=−33450.616574749x_{42} = -33450.616574749
x43=31814.1450665273x_{43} = 31814.1450665273
x44=18252.1755240654x_{44} = 18252.1755240654
x45=−27517.3088394564x_{45} = -27517.3088394564
x46=35204.6006869398x_{46} = 35204.6006869398
x47=36052.2134420221x_{47} = 36052.2134420221
x48=−38536.2899911387x_{48} = -38536.2899911387
x49=14861.5945966479x_{49} = 14861.5945966479
x50=−24974.4515003467x_{50} = -24974.4515003467
x51=30966.5298199452x_{51} = 30966.5298199452
x52=−22431.5842314588x_{52} = -22431.5842314588
x53=25033.2018608561x_{53} = 25033.2018608561
x54=33509.3738674487x_{54} = 33509.3738674487
x55=27576.061960426x_{55} = 27576.061960426
x56=16556.8936721197x_{56} = 16556.8936721197
x57=−35993.4549586719x_{57} = -35993.4549586719
x58=17404.5364287932x_{58} = 17404.5364287932
x59=−37688.678644628x_{59} = -37688.678644628
x60=−16498.163517153x_{60} = -16498.163517153
x61=42833.1032246534x_{61} = 42833.1032246534
x62=−36841.0669746669x_{62} = -36841.0669746669
x63=−31755.388731232x_{63} = -31755.388731232
x64=26728.4429451077x_{64} = 26728.4429451077
x65=14013.9365872336x_{65} = 14013.9365872336
x66=−13107.5621941971x_{66} = -13107.5621941971
x67=37747.4377915133x_{67} = 37747.4377915133
x68=41985.4929991613x_{68} = 41985.4929991613
x69=−30060.1587333573x_{69} = -30060.1587333573
x70=−28364.92620059x_{70} = -28364.92620059
x71=−26669.6906571714x_{71} = -26669.6906571714
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−((1+1x)x((log⁡(1+1x)−1x(1+1x))2−1x3(1+1x)2))=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)\right) = \infty
lim⁡x→0+((1+1x)x((log⁡(1+1x)−1x(1+1x))2−1x3(1+1x)2))=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left(1 + \frac{1}{x} \right)} - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[41137.8825243059,∞)\left[41137.8825243059, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−40231.511794726]\left(-\infty, -40231.511794726\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1+1x)x=e\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=ey = e
lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=ey = e
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 + 1/x)^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((1+1x)xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((1+1x)xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(1+1x)x=(1−1x)−x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{- x}
- No
(1+1x)x=−(1−1x)−x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = - \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (1+1/x)^x
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