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cbrt(x-3)*(x^2-6x+6)

Gráfico de la función y = cbrt(x-3)*(x^2-6x+6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       3 _______ / 2          \
f(x) = \/ x - 3 *\x  - 6*x + 6/
$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x - 3} \left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 6\right)$$
f = (x - 3)^(1/3)*(x^2 - 6*x + 6)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[3]{x - 3} \left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 6\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 3 - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 3 + \left(- \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)^{3}$$
$$x_{4} = 3 + \left(- \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)^{3}$$
$$x_{5} = 3 + \left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)^{3}$$
$$x_{6} = 3 + \left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)^{3}$$
$$x_{7} = \sqrt{3} + 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 1.26794919243112$$
$$x_{3} = 4.73205080756888$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 3)^(1/3)*(x^2 - 6*x + 6).
$$\sqrt[3]{-3} \left(\left(0^{2} - 0\right) + 6\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 6 \sqrt[3]{-3}$$
Punto:
(0, 6*(-3)^(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\sqrt[3]{x - 3} \left(2 x - 6\right) + \frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 6}{3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 - \frac{\sqrt{21}}{7}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{7} + 3$$
Signos de extremos en los puntos:
                               /                  2           \ 
                               |      /      ____\        ____| 
             3 ____ 6 ___  5/6 |      |    \/ 21 |    6*\/ 21 | 
       ____  \/ -1 *\/ 3 *7   *|-12 + |3 - ------|  + --------| 
     \/ 21                     \      \      7   /       7    / 
(3 - ------, --------------------------------------------------)
       7                             7                          

                        /                  2           \ 
                        |      /      ____\        ____| 
             6 ___  5/6 |      |    \/ 21 |    6*\/ 21 | 
       ____  \/ 3 *7   *|-12 + |3 + ------|  - --------| 
     \/ 21              \      \      7   /       7    / 
(3 + ------, -------------------------------------------)
       7                          7                      


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3 - \frac{\sqrt{21}}{7}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{7} + 3$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt{21}}{7} + 3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - \frac{\sqrt{21}}{7}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(15 \sqrt[3]{x - 3} - \frac{x^{2} - 6 x + 6}{\left(x - 3\right)^{\frac{5}{3}}}\right)}{9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt[3]{x - 3} \left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 6\right)\right) = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{x - 3} \left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 6\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 3)^(1/3)*(x^2 - 6*x + 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x - 3} \left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 6\right)}{x}\right) = - \infty \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \infty \sqrt[3]{-1} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x - 3} \left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 6\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[3]{x - 3} \left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 6\right) = \sqrt[3]{- x - 3} \left(x^{2} + 6 x + 6\right)$$
- No
$$\sqrt[3]{x - 3} \left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 6\right) = - \sqrt[3]{- x - 3} \left(x^{2} + 6 x + 6\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cbrt(x-3)*(x^2-6x+6)