Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\sqrt[3]{x - 3} \left(2 x - 6\right) + \frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 6}{3 \left(x - 3\right)^{\frac{2}{3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 - \frac{\sqrt{21}}{7}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{7} + 3$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
| / ____\ ____|
3 ____ 6 ___ 5/6 | | \/ 21 | 6*\/ 21 |
____ \/ -1 *\/ 3 *7 *|-12 + |3 - ------| + --------|
\/ 21 \ \ 7 / 7 /
(3 - ------, --------------------------------------------------)
7 7
/ 2 \
| / ____\ ____|
6 ___ 5/6 | | \/ 21 | 6*\/ 21 |
____ \/ 3 *7 *|-12 + |3 + ------| - --------|
\/ 21 \ \ 7 / 7 /
(3 + ------, -------------------------------------------)
7 7
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3 - \frac{\sqrt{21}}{7}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{7} + 3$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt{21}}{7} + 3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - \frac{\sqrt{21}}{7}\right]$$