Sr Examen

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Gráfico de la función y = y=1/2(|x/3-3/x|+x/3+3/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       |x   3|   x   3
       |- - -| + - + -
       |3   x|   3   x
f(x) = ---------------
              2       
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(\frac{x}{3} + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right|\right) + \frac{3}{x}}{2}$$
f = (x/3 + |x/3 - 3/x| + 3/x)/2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(\frac{x}{3} + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right|\right) + \frac{3}{x}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (|x/3 - 3/x| + x/3 + 3/x)/2.
$$\frac{\left(\left|{\frac{0}{3} - \frac{3}{0}}\right| + \frac{0}{3}\right) + \frac{3}{0}}{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{2}}\right) \left(\frac{x}{3} - \frac{3}{x}\right)}{2 \sqrt{\frac{x^{2}}{9} - 2 + \frac{9}{x^{2}}}} + \frac{1}{6} - \frac{3}{2 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{3} + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right|\right) + \frac{3}{x}}{2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{3} + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right|\right) + \frac{3}{x}}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (|x/3 - 3/x| + x/3 + 3/x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{3} + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right|\right) + \frac{3}{x}}{2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{3} + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right|\right) + \frac{3}{x}}{2 x}\right) = \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{3}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(\frac{x}{3} + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right|\right) + \frac{3}{x}}{2} = - \frac{x}{6} + \frac{\left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right|}{2} - \frac{3}{2 x}$$
- No
$$\frac{\left(\frac{x}{3} + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right|\right) + \frac{3}{x}}{2} = \frac{x}{6} - \frac{\left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right|}{2} + \frac{3}{2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar