Sr Examen

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(x+2)e^x
Trazado el gráfico de la función/ (x+2)e^x

Gráfico de la función y = (x+2)e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                x
f(x) = (x + 2)*E
f(x)=ex(x+2)f{\left(x \right)} = e^{x} \left(x + 2\right) 
f = E^x*(x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010500000-250000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
ex(x+2)=0e^{x} \left(x + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
Solución numérica
x1=−81.1882678183563x_{1} = -81.1882678183563
x2=−91.146704685936x_{2} = -91.146704685936
x3=−67.2735421114241x_{3} = -67.2735421114241
x4=−101.114833112977x_{4} = -101.114833112977
x5=−57.369883839131x_{5} = -57.369883839131
x6=−59.3470343910748x_{6} = -59.3470343910748
x7=−113.085180982879x_{7} = -113.085180982879
x8=−55.3950840173982x_{8} = -55.3950840173982
x9=−109.094223645316x_{9} = -109.094223645316
x10=−89.1541152286569x_{10} = -89.1541152286569
x11=−41.6870583075465x_{11} = -41.6870583075465
x12=−49.4891864944529x_{12} = -49.4891864944529
x13=−45.5740005056864x_{13} = -45.5740005056864
x14=−87.1619388762717x_{14} = -87.1619388762717
x15=−121.06914228288x_{15} = -121.06914228288
x16=−43.6261544568938x_{16} = -43.6261544568938
x17=−37.8463765939876x_{17} = -37.8463765939876
x18=−65.2896724119287x_{18} = -65.2896724119287
x19=−51.4541901054407x_{19} = -51.4541901054407
x20=−107.099039845199x_{20} = -107.099039845199
x21=−2x_{21} = -2
x22=−61.3262172000187x_{22} = -61.3262172000187
x23=−97.1266472537626x_{23} = -97.1266472537626
x24=−115.080930865701x_{24} = -115.080930865701
x25=−83.1789726997072x_{25} = -83.1789726997072
x26=−53.4230249783974x_{26} = -53.4230249783974
x27=−73.2319064024203x_{27} = -73.2319064024203
x28=−95.1329980618501x_{28} = -95.1329980618501
x29=−34.0913241206348x_{29} = -34.0913241206348
x30=−75.2198969347223x_{30} = -75.2198969347223
x31=−117.076847342498x_{31} = -117.076847342498
x32=−71.2447823410302x_{32} = -71.2447823410302
x33=−105.10407015753x_{33} = -105.10407015753
x34=−79.1981473783759x_{34} = -79.1981473783759
x35=−69.2586229734047x_{35} = -69.2586229734047
x36=−99.1205993527235x_{36} = -99.1205993527235
x37=−32.2742313644863x_{37} = -32.2742313644863
x38=−111.089608132217x_{38} = -111.089608132217
x39=−85.1702113647074x_{39} = -85.1702113647074
x40=−35.9540517145623x_{40} = -35.9540517145623
x41=−103.109329237227x_{41} = -103.109329237227
x42=−93.1396752246407x_{42} = -93.1396752246407
x43=−39.7592416454249x_{43} = -39.7592416454249
x44=−47.5287883412543x_{44} = -47.5287883412543
x45=−119.072920781941x_{45} = -119.072920781941
x46=−63.3071694941258x_{46} = -63.3071694941258
x47=−77.2086687051389x_{47} = -77.2086687051389
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 2)*E^x.
2e02 e^{0}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex+(x+2)ex=0e^{x} + \left(x + 2\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
Signos de extremos en los puntos:
       -3 
(-3, -e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3x_{1} = -3
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−3,∞)\left[-3, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−3]\left(-\infty, -3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+4)ex=0\left(x + 4\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−4x_{1} = -4

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−4,∞)\left[-4, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−4]\left(-\infty, -4\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(ex(x+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \left(x + 2\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(ex(x+2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \left(x + 2\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 2)*E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+2)exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x+2)exx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
ex(x+2)=(2−x)e−xe^{x} \left(x + 2\right) = \left(2 - x\right) e^{- x}
- No
ex(x+2)=−(2−x)e−xe^{x} \left(x + 2\right) = - \left(2 - x\right) e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x+2)e^x
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