Sr Examen

Otras calculadoras

x/(1+x^2)^2
Trazado el gráfico de la función/ x/(1+x^2)^2

Gráfico de la función y = x/(1+x^2)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           x    
f(x) = ---------
               2
       /     2\ 
       \1 + x /
f(x)=x(x2+1)2f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} 
f = x/(x^2 + 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.5-0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x2+1)2=0\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=16178.6518916848x_{1} = 16178.6518916848
x2=−13506.3005195012x_{2} = -13506.3005195012
x3=22109.5852761254x_{3} = 22109.5852761254
x4=−32147.6481435989x_{4} = -32147.6481435989
x5=−21978.3894419472x_{5} = -21978.3894419472
x6=−27910.2805438436x_{6} = -27910.2805438436
x7=27194.0400733442x_{7} = 27194.0400733442
x8=28041.4904927672x_{8} = 28041.4904927672
x9=14484.4452020344x_{9} = 14484.4452020344
x10=−24520.549154346x_{10} = -24520.549154346
x11=35668.8732572414x_{11} = 35668.8732572414
x12=−32995.141812677x_{12} = -32995.141812677
x13=36516.3874515588x_{13} = 36516.3874515588
x14=−14353.2991989098x_{14} = -14353.2991989098
x15=21262.2305994173x_{15} = 21262.2305994173
x16=−37232.6856743107x_{16} = -37232.6856743107
x17=20414.8966506568x_{17} = 20414.8966506568
x18=−10965.8666163506x_{18} = -10965.8666163506
x19=−42317.8645113938x_{19} = -42317.8645113938
x20=19567.5861240751x_{20} = 19567.5861240751
x21=−17741.8726673034x_{21} = -17741.8726673034
x22=−26215.3926807132x_{22} = -26215.3926807132
x23=−18589.1211308922x_{23} = -18589.1211308922
x24=39906.4824805783x_{24} = 39906.4824805783
x25=−21131.0378020927x_{25} = -21131.0378020927
x26=11943.6687592836x_{26} = 11943.6687592836
x27=15331.5208433594x_{27} = 15331.5208433594
x28=−12659.3829773564x_{28} = -12659.3829773564
x29=−28757.7386512816x_{29} = -28757.7386512816
x30=32278.8637725529x_{30} = 32278.8637725529
x31=−41470.3270985658x_{31} = -41470.3270985658
x32=−39775.2608173139x_{32} = -39775.2608173139
x33=42449.0875005062x_{33} = 42449.0875005062
x34=31431.3751377026x_{34} = 31431.3751377026
x35=0x_{35} = 0
x36=−29605.2051269265x_{36} = -29605.2051269265
x37=−31300.1604633294x_{37} = -31300.1604633294
x38=−35537.6544673896x_{38} = -35537.6544673896
x39=−9272.96964180009x_{39} = -9272.96964180009
x40=23804.3479553544x_{40} = 23804.3479553544
x41=−23673.1469943384x_{41} = -23673.1469943384
x42=29736.4176408609x_{42} = 29736.4176408609
x43=11096.9508293614x_{43} = 11096.9508293614
x44=−27062.8315909668x_{44} = -27062.8315909668
x45=39058.9534836425x_{45} = 39058.9534836425
x46=13637.4353037633x_{46} = 13637.4353037633
x47=−11812.5640487131x_{47} = -11812.5640487131
x48=28888.9499392717x_{48} = 28888.9499392717
x49=−38080.207196563x_{49} = -38080.207196563
x50=17025.8300696591x_{50} = 17025.8300696591
x51=−40622.792474443x_{51} = -40622.792474443
x52=38211.4278248492x_{52} = 38211.4278248492
x53=−16047.4885294021x_{53} = -16047.4885294021
x54=−16894.6599134202x_{54} = -16894.6599134202
x55=9403.99483860338x_{55} = 9403.99483860338
x56=−25367.9648198459x_{56} = -25367.9648198459
x57=−30452.6792719769x_{57} = -30452.6792719769
x58=33126.3583237319x_{58} = 33126.3583237319
x59=25499.1699170213x_{59} = 25499.1699170213
x60=26346.5995523547x_{60} = 26346.5995523547
x61=30583.8929111256x_{61} = 30583.8929111256
x62=22956.9583845x_{62} = 22956.9583845
x63=−20283.7072775985x_{63} = -20283.7072775985
x64=18720.3022019605x_{64} = 18720.3022019605
x65=34821.3634468047x_{65} = 34821.3634468047
x66=−36385.1680059945x_{66} = -36385.1680059945
x67=−15200.3654382736x_{67} = -15200.3654382736
x68=−19436.4006315048x_{68} = -19436.4006315048
x69=12790.504225716x_{69} = 12790.504225716
x70=−33842.6410205595x_{70} = -33842.6410205595
x71=33973.8583483916x_{71} = 33973.8583483916
x72=−10119.3212352764x_{72} = -10119.3212352764
x73=41601.5496726855x_{73} = 41601.5496726855
x74=−34690.1453612251x_{74} = -34690.1453612251
x75=−22825.7598445709x_{75} = -22825.7598445709
x76=−38927.7323209959x_{76} = -38927.7323209959
x77=40754.0146073646x_{77} = 40754.0146073646
x78=37363.9057313917x_{78} = 37363.9057313917
x79=10250.3796181979x_{79} = 10250.3796181979
x80=24651.7522903592x_{80} = 24651.7522903592
x81=17873.0486704095x_{81} = 17873.0486704095
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(1 + x^2)^2.
0(02+1)2\frac{0}{\left(0^{2} + 1\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4x2(x2+1)3+1(x2+1)2=0- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−33x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}
x2=33x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
    ___        ___ 
 -\/ 3    -3*\/ 3  
(-------, --------)
    3        16    

   ___      ___ 
 \/ 3   3*\/ 3  
(-----, -------)
   3       16


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−33x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=33x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{3}
Decrece en los intervalos
[−33,33]\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−33]∪[33,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4x(6x2x2+1−3)(x2+1)3=0\frac{4 x \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} + 1} - 3\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1,0]∪[1,∞)\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1]∪[0,1]\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x2+1)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x(x2+1)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(1 + x^2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞1(x2+1)2=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞1(x2+1)2=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x2+1)2=−x(x2+1)2\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = - \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}
- No
x(x2+1)2=x(x2+1)2\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x/(1+x^2)^2
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