El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0 o sea hay que resolver la ecuación: (x2+1)2x=0 Resolvermos esta ecuación Puntos de cruce con el eje X:
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0: sustituimos x = 0 en x/(1 + x^2)^2. (02+1)20 Resultado: f(0)=0 Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación dxdf(x)=0 (la derivada es igual a cero), y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función: dxdf(x)= primera derivada −(x2+1)34x2+(x2+1)21=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=−33 x2=33 Signos de extremos en los puntos:
___ ___
-\/ 3 -3*\/ 3
(-------, --------)
3 16
___ ___
\/ 3 3*\/ 3
(-----, -------)
3 16
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo: Puntos mínimos de la función: x1=−33 Puntos máximos de la función: x1=33 Decrece en los intervalos [−33,33] Crece en los intervalos (−∞,−33]∪[33,∞)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación dx2d2f(x)=0 (la segunda derivada es igual a cero), las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado: dx2d2f(x)= segunda derivada (x2+1)34x(x2+16x2−3)=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=−1 x2=0 x3=1
Intervalos de convexidad y concavidad: Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones: Cóncava en los intervalos [−1,0]∪[1,∞) Convexa en los intervalos (−∞,−1]∪[0,1]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo x→−∞lim((x2+1)2x)=0 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda: y=0 x→∞lim((x2+1)2x)=0 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la derecha: y=0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(1 + x^2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo x→−∞lim(x2+1)21=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha x→∞lim(x2+1)21=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x). Pues, comprobamos: (x2+1)2x=−(x2+1)2x - No (x2+1)2x=(x2+1)2x - No es decir, función no es par ni impar