Puntos en los que la función no está definida exactamente: x1=−1 x2=1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0 o sea hay que resolver la ecuación: (1−x2)2x=0 Resolvermos esta ecuación Puntos de cruce con el eje X:
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0: sustituimos x = 0 en x/(1 - x^2)^2. (1−02)20 Resultado: f(0)=0 Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación dxdf(x)=0 (la derivada es igual a cero), y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función: dxdf(x)= primera derivada (1−x2)34x2+(1−x2)21=0 Resolvermos esta ecuación Soluciones no halladas, tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación dx2d2f(x)=0 (la segunda derivada es igual a cero), las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado: dx2d2f(x)= segunda derivada (x2−1)34x(x2−16x2−3)=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=0 Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función: Puntos donde hay indeterminación: x1=−1 x2=1
x→−1−lim(x2−1)34x(x2−16x2−3)=−∞ x→−1+lim(x2−1)34x(x2−16x2−3)=−∞ - los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente x→1−lim(x2−1)34x(x2−16x2−3)=∞ x→1+lim(x2−1)34x(x2−16x2−3)=∞ - los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad: Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones: Cóncava en los intervalos [0,∞) Convexa en los intervalos (−∞,0]
Asíntotas verticales
Hay: x1=−1 x2=1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo x→−∞lim((1−x2)2x)=0 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda: y=0 x→∞lim((1−x2)2x)=0 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la derecha: y=0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(1 - x^2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo x→−∞lim(1−x2)21=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha x→∞lim(1−x2)21=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x). Pues, comprobamos: (1−x2)2x=−(1−x2)2x - No (1−x2)2x=(1−x2)2x - No es decir, función no es par ni impar