Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 8} - 1\right)}{x^{3} - 8} - \frac{3 x^{3}}{x^{3} - 8} + 1\right)}{x^{3} - 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2^{\frac{2}{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 8} - 1\right)}{x^{3} - 8} - \frac{3 x^{3}}{x^{3} - 8} + 1\right)}{x^{3} - 8}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 8} - 1\right)}{x^{3} - 8} - \frac{3 x^{3}}{x^{3} - 8} + 1\right)}{x^{3} - 8}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2^{\frac{2}{3}}, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{3}}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$