Sr Examen
Gráfico de la función y = (0.2x+1)(0,4-0,1x)(x-2)(x+3)+1,02
Solución
Ha introducido
[src]
/x \ /2 x \ 51
f(x) = |- + 1|*|- - --|*(x - 2)*(x + 3) + --
\5 / \5 10/ 50
$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50}$$
f = (((2/5 - x/10)*(x/5 + 1))*(x - 2))*(x + 3) + 51/50
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -5.32182538049648$$
$$x_{2} = 1.30277563773199$$
$$x_{3} = -2.30277563773199$$
$$x_{4} = 4.32182538049648$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -5.32182538049648$$
$$x_{2} = 1.30277563773199$$
$$x_{3} = -2.30277563773199$$
$$x_{4} = 4.32182538049648$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) + \left(x + 3\right) \left(\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) + \left(- \frac{x}{25} - \frac{1}{50}\right) \left(x - 2\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{53}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{53}}{2} - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{53}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) + \left(x + 3\right) \left(\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) + \left(- \frac{x}{25} - \frac{1}{50}\right) \left(x - 2\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{53}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
-1209
(-1/2, ------)
800 ____ / ____\ / ____\ / ____\ / ____\ 1 \/ 53 51 | 5 \/ 53 | |5 \/ 53 | |9 \/ 53 | |9 \/ 53 | (- - + ------, -- + |- - + ------|*|- + ------|*|-- + ------|*|-- - ------|) 2 2 50 \ 2 2 / \2 2 / \10 10 / \20 20 /
____ / ____\ / ____\ / ____\ / ____\ 1 \/ 53 51 | 5 \/ 53 | |5 \/ 53 | |9 \/ 53 | |9 \/ 53 | (- - - ------, -- + |- - - ------|*|- - ------|*|-- - ------|*|-- + ------|) 2 2 50 \ 2 2 / \2 2 / \10 10 / \20 20 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{53}}{2} - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{53}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{53}}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\left(x - 4\right) \left(x + 5\right) + \left(x - 2\right) \left(2 x + 1\right) + \left(x + 3\right) \left(3 x - 1\right)}{25} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{159}}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{159}}{6} - \frac{1}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{159}}{6} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{159}}{6}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{159}}{6} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{159}}{6}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\left(x - 4\right) \left(x + 5\right) + \left(x - 2\right) \left(2 x + 1\right) + \left(x + 3\right) \left(3 x - 1\right)}{25} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{159}}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{159}}{6} - \frac{1}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{159}}{6} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{159}}{6}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{159}}{6} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{159}}{6}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x/5 + 1)*(2/5 - x/10))*(x - 2))*(x + 3) + 51/50, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50} = \left(1 - \frac{x}{5}\right) \left(3 - x\right) \left(- x - 2\right) \left(\frac{x}{10} + \frac{2}{5}\right) + \frac{51}{50}$$
- No
$$\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50} = - \left(1 - \frac{x}{5}\right) \left(3 - x\right) \left(- x - 2\right) \left(\frac{x}{10} + \frac{2}{5}\right) - \frac{51}{50}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50} = \left(1 - \frac{x}{5}\right) \left(3 - x\right) \left(- x - 2\right) \left(\frac{x}{10} + \frac{2}{5}\right) + \frac{51}{50}$$
- No
$$\left(\frac{2}{5} - \frac{x}{10}\right) \left(\frac{x}{5} + 1\right) \left(x - 2\right) \left(x + 3\right) + \frac{51}{50} = - \left(1 - \frac{x}{5}\right) \left(3 - x\right) \left(- x - 2\right) \left(\frac{x}{10} + \frac{2}{5}\right) - \frac{51}{50}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar