Sr Examen

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cos(0.5x)-1
Trazado el gráfico de la función/ cos(0.5x)-1

Gráfico de la función y = cos(0.5x)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\    
f(x) = cos|-| - 1
          \2/
f(x)=cos⁡(x2)−1f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 
f = cos(x/2) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x2)−1=0\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=4πx_{2} = 4 \pi
Solución numérica
x1=−339.292004463459x_{1} = -339.292004463459
x2=−75.3982230244771x_{2} = -75.3982230244771
x3=37.699112034073x_{3} = 37.699112034073
x4=87.9645943359415x_{4} = 87.9645943359415
x5=−100.53096461474x_{5} = -100.53096461474
x6=12.5663716216992x_{6} = 12.5663716216992
x7=87.9645951697672x_{7} = 87.9645951697672
x8=75.3982231443299x_{8} = 75.3982231443299
x9=75.3982242010893x_{9} = 75.3982242010893
x10=87.9645950596493x_{10} = 87.9645950596493
x11=−12.5663711704395x_{11} = -12.5663711704395
x12=62.8318541035118x_{12} = 62.8318541035118
x13=−12.5663702980387x_{13} = -12.5663702980387
x14=25.1327416777796x_{14} = 25.1327416777796
x15=12.5663701654734x_{15} = 12.5663701654734
x16=12.566371289085x_{16} = 12.566371289085
x17=−25.1327429452907x_{17} = -25.1327429452907
x18=75.3982234996238x_{18} = 75.3982234996238
x19=−25.1327406696083x_{19} = -25.1327406696083
x20=−62.8318526379222x_{20} = -62.8318526379222
x21=50.2654816836948x_{21} = 50.2654816836948
x22=−12.5663716390742x_{22} = -12.5663716390742
x23=−50.2654815299205x_{23} = -50.2654815299205
x24=−50.2654831290744x_{24} = -50.2654831290744
x25=−62.8318542584121x_{25} = -62.8318542584121
x26=−50.2654829362526x_{26} = -50.2654829362526
x27=−62.8318535180004x_{27} = -62.8318535180004
x28=25.1327407976605x_{28} = 25.1327407976605
x29=−50.2654834520414x_{29} = -50.2654834520414
x30=−12.5663696273954x_{30} = -12.5663696273954
x31=25.1327398318424x_{31} = 25.1327398318424
x32=37.6991123150382x_{32} = 37.6991123150382
x33=87.9645933670472x_{33} = 87.9645933670472
x34=0x_{34} = 0
x35=−87.9645950762365x_{35} = -87.9645950762365
x36=12.5663696903306x_{36} = 12.5663696903306
x37=37.6991108423748x_{37} = 37.6991108423748
x38=25.1327402133162x_{38} = 25.1327402133162
x39=−37.6991126992556x_{39} = -37.6991126992556
x40=−62.831851347466x_{40} = -62.831851347466
x41=−62.8318520510992x_{41} = -62.8318520510992
x42=62.8318531970184x_{42} = 62.8318531970184
x43=−87.9645934511713x_{43} = -87.9645934511713
x44=−75.398224618165x_{44} = -75.398224618165
x45=−37.6991110758133x_{45} = -37.6991110758133
x46=50.2654824463372x_{46} = 50.2654824463372
x47=37.6991112800661x_{47} = 37.6991112800661
x48=75.3982240185352x_{48} = 75.3982240185352
x49=−87.9645934903961x_{49} = -87.9645934903961
x50=100.530964414577x_{50} = 100.530964414577
x51=62.8318527737309x_{51} = 62.8318527737309
x52=−62.8318540899534x_{52} = -62.8318540899534
x53=50.2654816113039x_{53} = 50.2654816113039
x54=−37.6991118772906x_{54} = -37.6991118772906
x55=25.1327427229237x_{55} = 25.1327427229237
x56=100.530963999089x_{56} = 100.530963999089
x57=75.3982246787105x_{57} = 75.3982246787105
x58=−50.265481935943x_{58} = -50.265481935943
x59=100.530965273463x_{59} = 100.530965273463
x60=−113.097333611656x_{60} = -113.097333611656
x61=75.3982226607454x_{61} = 75.3982226607454
x62=12.5663704404135x_{62} = 12.5663704404135
x63=50.2654833855111x_{63} = 50.2654833855111
x64=−87.9645952061008x_{64} = -87.9645952061008
x65=50.2654832362872x_{65} = 50.2654832362872
x66=−12.5663706941362x_{66} = -12.5663706941362
x67=−25.1327409922366x_{67} = -25.1327409922366
x68=25.1327422523855x_{68} = 25.1327422523855
x69=−75.3982226734831x_{69} = -75.3982226734831
x70=−2450.4422691113x_{70} = -2450.4422691113
x71=−25.1327401961945x_{71} = -25.1327401961945
x72=−75.3982238771266x_{72} = -75.3982238771266
x73=100.530964758156x_{73} = 100.530964758156
x74=62.8318520947719x_{74} = 62.8318520947719
x75=37.6991127786276x_{75} = 37.6991127786276
x76=−75.3982240789539x_{76} = -75.3982240789539
x77=12.5663724644809x_{77} = 12.5663724644809
x78=37.6991111844838x_{78} = 37.6991111844838
x79=−100.530963933814x_{79} = -100.530963933814
x80=−87.9645943585769x_{80} = -87.9645943585769
x81=−25.1327415428233x_{81} = -25.1327415428233
x82=100.530964589585x_{82} = 100.530964589585
x83=−37.6991109019735x_{83} = -37.6991109019735
x84=−37.6991125894353x_{84} = -37.6991125894353
x85=−25.1327422115415x_{85} = -25.1327422115415
x86=87.964593548137x_{86} = 87.964593548137
x87=−50.2654822841315x_{87} = -50.2654822841315
x88=−791.681347222187x_{88} = -791.681347222187
x89=−100.530964897478x_{89} = -100.530964897478
x90=62.8318536450421x_{90} = 62.8318536450421
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x/2) - 1.
−1+cos⁡(02)-1 + \cos{\left(\frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x2)2=0- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(2*pi, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2πx_{1} = 2 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[2π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,2π]\left[0, 2 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x2)4=0- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,3π]\left[\pi, 3 \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π]∪[3π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x2)−1)=⟨−2,0⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,0⟩y = \left\langle -2, 0\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x2)−1)=⟨−2,0⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,0⟩y = \left\langle -2, 0\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x/2) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x2)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x2)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x2)−1=cos⁡(x2)−1\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1
- Sí
cos⁡(x2)−1=1−cos⁡(x2)\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 = 1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(0.5x)-1
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