Sr Examen

Otras calculadoras

cos^2(x)-cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ cos^2(x)-cos(x)

Gráfico de la función y = cos^2(x)-cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2            
f(x) = cos (x) - cos(x)
f(x)=cos⁡2(x)−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} 
f = cos(x)^2 - cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡2(x)−cos⁡(x)=0\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=3π2x_{3} = \frac{3 \pi}{2}
x4=2πx_{4} = 2 \pi
Solución numérica
x1=73.8274273593601x_{1} = 73.8274273593601
x2=−81.6814090377756x_{2} = -81.6814090377756
x3=70.6858347057703x_{3} = 70.6858347057703
x4=−10.9955742875643x_{4} = -10.9955742875643
x5=−89.5353906273091x_{5} = -89.5353906273091
x6=12.5663704623094x_{6} = 12.5663704623094
x7=−54.9778714378214x_{7} = -54.9778714378214
x8=42.4115008234622x_{8} = 42.4115008234622
x9=14.1371669411541x_{9} = 14.1371669411541
x10=−1.5707963267949x_{10} = -1.5707963267949
x11=10.9955742875643x_{11} = 10.9955742875643
x12=−48.6946861306418x_{12} = -48.6946861306418
x13=54.9778714378214x_{13} = 54.9778714378214
x14=−67.5442420521806x_{14} = -67.5442420521806
x15=89.5353906273091x_{15} = 89.5353906273091
x16=−20.4203522483337x_{16} = -20.4203522483337
x17=−80.1106126665397x_{17} = -80.1106126665397
x18=−87.964594358935x_{18} = -87.964594358935
x19=36.1283155162826x_{19} = 36.1283155162826
x20=94.2477796093526x_{20} = 94.2477796093526
x21=32.9867228626928x_{21} = 32.9867228626928
x22=−18.8495562409837x_{22} = -18.8495562409837
x23=39.2699081698724x_{23} = 39.2699081698724
x24=95.8185759344887x_{24} = 95.8185759344887
x25=45.553093477052x_{25} = 45.553093477052
x26=92.6769832808989x_{26} = 92.6769832808989
x27=75.3982238342404x_{27} = 75.3982238342404
x28=1.5707963267949x_{28} = 1.5707963267949
x29=−29.845130209103x_{29} = -29.845130209103
x30=0x_{30} = 0
x31=37.6991120060109x_{31} = 37.6991120060109
x32=23.5619449019235x_{32} = 23.5619449019235
x33=20.4203522483337x_{33} = 20.4203522483337
x34=−32.9867228626928x_{34} = -32.9867228626928
x35=−50.2654823051418x_{35} = -50.2654823051418
x36=7.85398163397448x_{36} = 7.85398163397448
x37=−17.2787595947439x_{37} = -17.2787595947439
x38=98.9601685880785x_{38} = 98.9601685880785
x39=−100.530964736174x_{39} = -100.530964736174
x40=4.71238898038469x_{40} = 4.71238898038469
x41=26.7035375555132x_{41} = 26.7035375555132
x42=64.4026493985908x_{42} = 64.4026493985908
x43=−42.4115008234622x_{43} = -42.4115008234622
x44=−31.4159266930206x_{44} = -31.4159266930206
x45=61.261056745001x_{45} = 61.261056745001
x46=−56.5486675907774x_{46} = -56.5486675907774
x47=−12.5663704469816x_{47} = -12.5663704469816
x48=−14.1371669411541x_{48} = -14.1371669411541
x49=50.2654824463558x_{49} = 50.2654824463558
x50=17.2787595947439x_{50} = 17.2787595947439
x51=−51.8362787842316x_{51} = -51.8362787842316
x52=−37.6991118770355x_{52} = -37.6991118770355
x53=−94.2477794613449x_{53} = -94.2477794613449
x54=−6.28318514935383x_{54} = -6.28318514935383
x55=58.1194640914112x_{55} = 58.1194640914112
x56=−4.71238898038469x_{56} = -4.71238898038469
x57=−70.6858347057703x_{57} = -70.6858347057703
x58=48.6946861306418x_{58} = 48.6946861306418
x59=−83.2522053201295x_{59} = -83.2522053201295
x60=81.6814091609407x_{60} = 81.6814091609407
x61=−95.8185759344887x_{61} = -95.8185759344887
x62=69.1150385134118x_{62} = 69.1150385134118
x63=25.1327408583892x_{63} = 25.1327408583892
x64=−36.1283155162826x_{64} = -36.1283155162826
x65=25.1327418085792x_{65} = 25.1327418085792
x66=−62.8318534973011x_{66} = -62.8318534973011
x67=86.3937979737193x_{67} = 86.3937979737193
x68=83.2522053201295x_{68} = 83.2522053201295
x69=−75.3982238479311x_{69} = -75.3982238479311
x70=6.28318528429551x_{70} = 6.28318528429551
x71=−23.5619449019235x_{71} = -23.5619449019235
x72=−26.7035375555132x_{72} = -26.7035375555132
x73=31.4159266948554x_{73} = 31.4159266948554
x74=−76.9690200129499x_{74} = -76.9690200129499
x75=−92.6769832808989x_{75} = -92.6769832808989
x76=−98.9601685880785x_{76} = -98.9601685880785
x77=−7.85398163397448x_{77} = -7.85398163397448
x78=80.1106126665397x_{78} = 80.1106126665397
x79=62.8318529132021x_{79} = 62.8318529132021
x80=43.9822971693881x_{80} = 43.9822971693881
x81=29.845130209103x_{81} = 29.845130209103
x82=−25.1327413641924x_{82} = -25.1327413641924
x83=−73.8274273593601x_{83} = -73.8274273593601
x84=−43.9822971746199x_{84} = -43.9822971746199
x85=56.5486676180351x_{85} = 56.5486676180351
x86=−389.557489134924x_{86} = -389.557489134924
x87=−86.3937979737193x_{87} = -86.3937979737193
x88=−69.115038497193x_{88} = -69.115038497193
x89=69.1150379836781x_{89} = 69.1150379836781
x90=51.8362787842316x_{90} = 51.8362787842316
x91=100.530964774136x_{91} = 100.530964774136
x92=−45.553093477052x_{92} = -45.553093477052
x93=87.9645943356049x_{93} = 87.9645943356049
x94=−39.2699081698724x_{94} = -39.2699081698724
x95=76.9690200129499x_{95} = 76.9690200129499
x96=18.8495557729205x_{96} = 18.8495557729205
x97=−58.1194640914112x_{97} = -58.1194640914112
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)^2 - cos(x).
−cos⁡(0)+cos⁡2(0)- \cos{\left(0 \right)} + \cos^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π3x_{2} = - \frac{\pi}{3}
x3=π3x_{3} = \frac{\pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

 -pi        
(----, -1/4)
  3         

 pi       
(--, -1/4)
 3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=π3x_{2} = \frac{\pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−π3,0]∪[π3,∞)\left[- \frac{\pi}{3}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π3]∪[0,π3]\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin⁡2(x)−2cos⁡2(x)+cos⁡(x)=02 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(36−333)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}
x2=2atan⁡(36−333)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}
x3=−2atan⁡(333+63)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}
x4=2atan⁡(333+63)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2atan⁡(333+63),−2atan⁡(36−333)]∪[2atan⁡(36−333),∞)\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(333+63)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡2(x)−cos⁡(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡2(x)−cos⁡(x))=⟨−1,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,2⟩y = \left\langle -1, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)^2 - cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡2(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡2(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡2(x)−cos⁡(x)=cos⁡2(x)−cos⁡(x)\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- Sí
cos⁡2(x)−cos⁡(x)=−cos⁡2(x)+cos⁡(x)\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos^2(x)-cos(x)
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