Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^2-1)
-
x^2*exp
-
x^3/(3-x^2)
-
(x^3+4)/x^2
-
Expresiones idénticas
- cos^ dos (x)-cos(x)
- coseno de al cuadrado (x) menos coseno de (x)
- coseno de en el grado dos (x) menos coseno de (x)
- cos2(x)-cos(x)
- cos2x-cosx
- cos²(x)-cos(x)
- cos en el grado 2(x)-cos(x)
- cos^2x-cosx
-
Expresiones semejantes
- cos^2(x)+cos(x)
- cos^2(x)-cosx
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cosx-x
- cos(x)*2
- cos(x)^2-sin(x)
- cos(x)+1/cos(x)
- cos(x-pi/3)
- Coseno cos
- cosx-x
- cos(x)*2
- cos(x)^2-sin(x)
- cos(x)+1/cos(x)
- cos(x-pi/3)
Gráfico de la función y = cos^2(x)-cos(x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 f(x) = cos (x) - cos(x)
$$f{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
f = cos(x)^2 - cos(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 73.8274273593601$$
$$x_{2} = -81.6814090377756$$
$$x_{3} = 70.6858347057703$$
$$x_{4} = -10.9955742875643$$
$$x_{5} = -89.5353906273091$$
$$x_{6} = 12.5663704623094$$
$$x_{7} = -54.9778714378214$$
$$x_{8} = 42.4115008234622$$
$$x_{9} = 14.1371669411541$$
$$x_{10} = -1.5707963267949$$
$$x_{11} = 10.9955742875643$$
$$x_{12} = -48.6946861306418$$
$$x_{13} = 54.9778714378214$$
$$x_{14} = -67.5442420521806$$
$$x_{15} = 89.5353906273091$$
$$x_{16} = -20.4203522483337$$
$$x_{17} = -80.1106126665397$$
$$x_{18} = -87.964594358935$$
$$x_{19} = 36.1283155162826$$
$$x_{20} = 94.2477796093526$$
$$x_{21} = 32.9867228626928$$
$$x_{22} = -18.8495562409837$$
$$x_{23} = 39.2699081698724$$
$$x_{24} = 95.8185759344887$$
$$x_{25} = 45.553093477052$$
$$x_{26} = 92.6769832808989$$
$$x_{27} = 75.3982238342404$$
$$x_{28} = 1.5707963267949$$
$$x_{29} = -29.845130209103$$
$$x_{30} = 0$$
$$x_{31} = 37.6991120060109$$
$$x_{32} = 23.5619449019235$$
$$x_{33} = 20.4203522483337$$
$$x_{34} = -32.9867228626928$$
$$x_{35} = -50.2654823051418$$
$$x_{36} = 7.85398163397448$$
$$x_{37} = -17.2787595947439$$
$$x_{38} = 98.9601685880785$$
$$x_{39} = -100.530964736174$$
$$x_{40} = 4.71238898038469$$
$$x_{41} = 26.7035375555132$$
$$x_{42} = 64.4026493985908$$
$$x_{43} = -42.4115008234622$$
$$x_{44} = -31.4159266930206$$
$$x_{45} = 61.261056745001$$
$$x_{46} = -56.5486675907774$$
$$x_{47} = -12.5663704469816$$
$$x_{48} = -14.1371669411541$$
$$x_{49} = 50.2654824463558$$
$$x_{50} = 17.2787595947439$$
$$x_{51} = -51.8362787842316$$
$$x_{52} = -37.6991118770355$$
$$x_{53} = -94.2477794613449$$
$$x_{54} = -6.28318514935383$$
$$x_{55} = 58.1194640914112$$
$$x_{56} = -4.71238898038469$$
$$x_{57} = -70.6858347057703$$
$$x_{58} = 48.6946861306418$$
$$x_{59} = -83.2522053201295$$
$$x_{60} = 81.6814091609407$$
$$x_{61} = -95.8185759344887$$
$$x_{62} = 69.1150385134118$$
$$x_{63} = 25.1327408583892$$
$$x_{64} = -36.1283155162826$$
$$x_{65} = 25.1327418085792$$
$$x_{66} = -62.8318534973011$$
$$x_{67} = 86.3937979737193$$
$$x_{68} = 83.2522053201295$$
$$x_{69} = -75.3982238479311$$
$$x_{70} = 6.28318528429551$$
$$x_{71} = -23.5619449019235$$
$$x_{72} = -26.7035375555132$$
$$x_{73} = 31.4159266948554$$
$$x_{74} = -76.9690200129499$$
$$x_{75} = -92.6769832808989$$
$$x_{76} = -98.9601685880785$$
$$x_{77} = -7.85398163397448$$
$$x_{78} = 80.1106126665397$$
$$x_{79} = 62.8318529132021$$
$$x_{80} = 43.9822971693881$$
$$x_{81} = 29.845130209103$$
$$x_{82} = -25.1327413641924$$
$$x_{83} = -73.8274273593601$$
$$x_{84} = -43.9822971746199$$
$$x_{85} = 56.5486676180351$$
$$x_{86} = -389.557489134924$$
$$x_{87} = -86.3937979737193$$
$$x_{88} = -69.115038497193$$
$$x_{89} = 69.1150379836781$$
$$x_{90} = 51.8362787842316$$
$$x_{91} = 100.530964774136$$
$$x_{92} = -45.553093477052$$
$$x_{93} = 87.9645943356049$$
$$x_{94} = -39.2699081698724$$
$$x_{95} = 76.9690200129499$$
$$x_{96} = 18.8495557729205$$
$$x_{97} = -58.1194640914112$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 73.8274273593601$$
$$x_{2} = -81.6814090377756$$
$$x_{3} = 70.6858347057703$$
$$x_{4} = -10.9955742875643$$
$$x_{5} = -89.5353906273091$$
$$x_{6} = 12.5663704623094$$
$$x_{7} = -54.9778714378214$$
$$x_{8} = 42.4115008234622$$
$$x_{9} = 14.1371669411541$$
$$x_{10} = -1.5707963267949$$
$$x_{11} = 10.9955742875643$$
$$x_{12} = -48.6946861306418$$
$$x_{13} = 54.9778714378214$$
$$x_{14} = -67.5442420521806$$
$$x_{15} = 89.5353906273091$$
$$x_{16} = -20.4203522483337$$
$$x_{17} = -80.1106126665397$$
$$x_{18} = -87.964594358935$$
$$x_{19} = 36.1283155162826$$
$$x_{20} = 94.2477796093526$$
$$x_{21} = 32.9867228626928$$
$$x_{22} = -18.8495562409837$$
$$x_{23} = 39.2699081698724$$
$$x_{24} = 95.8185759344887$$
$$x_{25} = 45.553093477052$$
$$x_{26} = 92.6769832808989$$
$$x_{27} = 75.3982238342404$$
$$x_{28} = 1.5707963267949$$
$$x_{29} = -29.845130209103$$
$$x_{30} = 0$$
$$x_{31} = 37.6991120060109$$
$$x_{32} = 23.5619449019235$$
$$x_{33} = 20.4203522483337$$
$$x_{34} = -32.9867228626928$$
$$x_{35} = -50.2654823051418$$
$$x_{36} = 7.85398163397448$$
$$x_{37} = -17.2787595947439$$
$$x_{38} = 98.9601685880785$$
$$x_{39} = -100.530964736174$$
$$x_{40} = 4.71238898038469$$
$$x_{41} = 26.7035375555132$$
$$x_{42} = 64.4026493985908$$
$$x_{43} = -42.4115008234622$$
$$x_{44} = -31.4159266930206$$
$$x_{45} = 61.261056745001$$
$$x_{46} = -56.5486675907774$$
$$x_{47} = -12.5663704469816$$
$$x_{48} = -14.1371669411541$$
$$x_{49} = 50.2654824463558$$
$$x_{50} = 17.2787595947439$$
$$x_{51} = -51.8362787842316$$
$$x_{52} = -37.6991118770355$$
$$x_{53} = -94.2477794613449$$
$$x_{54} = -6.28318514935383$$
$$x_{55} = 58.1194640914112$$
$$x_{56} = -4.71238898038469$$
$$x_{57} = -70.6858347057703$$
$$x_{58} = 48.6946861306418$$
$$x_{59} = -83.2522053201295$$
$$x_{60} = 81.6814091609407$$
$$x_{61} = -95.8185759344887$$
$$x_{62} = 69.1150385134118$$
$$x_{63} = 25.1327408583892$$
$$x_{64} = -36.1283155162826$$
$$x_{65} = 25.1327418085792$$
$$x_{66} = -62.8318534973011$$
$$x_{67} = 86.3937979737193$$
$$x_{68} = 83.2522053201295$$
$$x_{69} = -75.3982238479311$$
$$x_{70} = 6.28318528429551$$
$$x_{71} = -23.5619449019235$$
$$x_{72} = -26.7035375555132$$
$$x_{73} = 31.4159266948554$$
$$x_{74} = -76.9690200129499$$
$$x_{75} = -92.6769832808989$$
$$x_{76} = -98.9601685880785$$
$$x_{77} = -7.85398163397448$$
$$x_{78} = 80.1106126665397$$
$$x_{79} = 62.8318529132021$$
$$x_{80} = 43.9822971693881$$
$$x_{81} = 29.845130209103$$
$$x_{82} = -25.1327413641924$$
$$x_{83} = -73.8274273593601$$
$$x_{84} = -43.9822971746199$$
$$x_{85} = 56.5486676180351$$
$$x_{86} = -389.557489134924$$
$$x_{87} = -86.3937979737193$$
$$x_{88} = -69.115038497193$$
$$x_{89} = 69.1150379836781$$
$$x_{90} = 51.8362787842316$$
$$x_{91} = 100.530964774136$$
$$x_{92} = -45.553093477052$$
$$x_{93} = 87.9645943356049$$
$$x_{94} = -39.2699081698724$$
$$x_{95} = 76.9690200129499$$
$$x_{96} = 18.8495557729205$$
$$x_{97} = -58.1194640914112$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{3}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
-pi (----, -1/4) 3
pi (--, -1/4) 3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{3}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)^2 - cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- Sí
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- Sí
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico