Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- x= uno , seis *sin2t
- x es igual a 1,6 multiplicar por seno de 2t
- x es igual a uno , seis multiplicar por seno de 2t
- x=1,6sin2t
Gráfico de la función y = x=1,6*sin2t
Solución
Ha introducido
[src]
8*sin(2*t)
f(t) = ----------
5
$$f{\left(t \right)} = \frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5}$$
f = 8*sin(2*t)/5
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$t_{1} = 89.5353906273091$$
$$t_{2} = -15.707963267949$$
$$t_{3} = -31.4159265358979$$
$$t_{4} = 42.4115008234622$$
$$t_{5} = 21.9911485751286$$
$$t_{6} = 0$$
$$t_{7} = -42.4115008234622$$
$$t_{8} = -29.845130209103$$
$$t_{9} = -21.9911485751286$$
$$t_{10} = -36.1283155162826$$
$$t_{11} = 28.2743338823081$$
$$t_{12} = 86.3937979737193$$
$$t_{13} = 72.2566310325652$$
$$t_{14} = -94.2477796076938$$
$$t_{15} = -61.261056745001$$
$$t_{16} = -40.8407044966673$$
$$t_{17} = 87.9645943005142$$
$$t_{18} = -95.8185759344887$$
$$t_{19} = -50.2654824574367$$
$$t_{20} = 23.5619449019235$$
$$t_{21} = -43.9822971502571$$
$$t_{22} = -97.3893722612836$$
$$t_{23} = 50.2654824574367$$
$$t_{24} = 590.619418874881$$
$$t_{25} = -14.1371669411541$$
$$t_{26} = 59.6902604182061$$
$$t_{27} = -119.380520836412$$
$$t_{28} = 58.1194640914112$$
$$t_{29} = -53.4070751110265$$
$$t_{30} = -48.6946861306418$$
$$t_{31} = -23.5619449019235$$
$$t_{32} = -86.3937979737193$$
$$t_{33} = -17.2787595947439$$
$$t_{34} = 12.5663706143592$$
$$t_{35} = -81.6814089933346$$
$$t_{36} = 94.2477796076938$$
$$t_{37} = 81.6814089933346$$
$$t_{38} = -67.5442420521806$$
$$t_{39} = -80.1106126665397$$
$$t_{40} = -1.5707963267949$$
$$t_{41} = 31.4159265358979$$
$$t_{42} = 92.6769832808989$$
$$t_{43} = 36.1283155162826$$
$$t_{44} = -39.2699081698724$$
$$t_{45} = -28.2743338823081$$
$$t_{46} = 4.71238898038469$$
$$t_{47} = 48.6946861306418$$
$$t_{48} = -72.2566310325652$$
$$t_{49} = 37.6991118430775$$
$$t_{50} = 70.6858347057703$$
$$t_{51} = -45.553093477052$$
$$t_{52} = -89.5353906273091$$
$$t_{53} = 65.9734457253857$$
$$t_{54} = 73.8274273593601$$
$$t_{55} = 20.4203522483337$$
$$t_{56} = -483.805268652828$$
$$t_{57} = -87.9645943005142$$
$$t_{58} = 1.5707963267949$$
$$t_{59} = 45.553093477052$$
$$t_{60} = 78.5398163397448$$
$$t_{61} = -6.28318530717959$$
$$t_{62} = 95.8185759344887$$
$$t_{63} = 15.707963267949$$
$$t_{64} = -20.4203522483337$$
$$t_{65} = -58.1194640914112$$
$$t_{66} = 56.5486677646163$$
$$t_{67} = 113.097335529233$$
$$t_{68} = 80.1106126665397$$
$$t_{69} = 7.85398163397448$$
$$t_{70} = 26.7035375555132$$
$$t_{71} = 29.845130209103$$
$$t_{72} = -65.9734457253857$$
$$t_{73} = 43.9822971502571$$
$$t_{74} = 14.1371669411541$$
$$t_{75} = -37.6991118430775$$
$$t_{76} = -59.6902604182061$$
$$t_{77} = -64.4026493985908$$
$$t_{78} = -83.2522053201295$$
$$t_{79} = -75.398223686155$$
$$t_{80} = 51.8362787842316$$
$$t_{81} = 100.530964914873$$
$$t_{82} = 64.4026493985908$$
$$t_{83} = 34.5575191894877$$
$$t_{84} = -73.8274273593601$$
$$t_{85} = 6.28318530717959$$
$$t_{86} = -9.42477796076938$$
$$t_{87} = -51.8362787842316$$
$$t_{88} = 67.5442420521806$$
$$t_{89} = -7.85398163397448$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$t_{1} = 89.5353906273091$$
$$t_{2} = -15.707963267949$$
$$t_{3} = -31.4159265358979$$
$$t_{4} = 42.4115008234622$$
$$t_{5} = 21.9911485751286$$
$$t_{6} = 0$$
$$t_{7} = -42.4115008234622$$
$$t_{8} = -29.845130209103$$
$$t_{9} = -21.9911485751286$$
$$t_{10} = -36.1283155162826$$
$$t_{11} = 28.2743338823081$$
$$t_{12} = 86.3937979737193$$
$$t_{13} = 72.2566310325652$$
$$t_{14} = -94.2477796076938$$
$$t_{15} = -61.261056745001$$
$$t_{16} = -40.8407044966673$$
$$t_{17} = 87.9645943005142$$
$$t_{18} = -95.8185759344887$$
$$t_{19} = -50.2654824574367$$
$$t_{20} = 23.5619449019235$$
$$t_{21} = -43.9822971502571$$
$$t_{22} = -97.3893722612836$$
$$t_{23} = 50.2654824574367$$
$$t_{24} = 590.619418874881$$
$$t_{25} = -14.1371669411541$$
$$t_{26} = 59.6902604182061$$
$$t_{27} = -119.380520836412$$
$$t_{28} = 58.1194640914112$$
$$t_{29} = -53.4070751110265$$
$$t_{30} = -48.6946861306418$$
$$t_{31} = -23.5619449019235$$
$$t_{32} = -86.3937979737193$$
$$t_{33} = -17.2787595947439$$
$$t_{34} = 12.5663706143592$$
$$t_{35} = -81.6814089933346$$
$$t_{36} = 94.2477796076938$$
$$t_{37} = 81.6814089933346$$
$$t_{38} = -67.5442420521806$$
$$t_{39} = -80.1106126665397$$
$$t_{40} = -1.5707963267949$$
$$t_{41} = 31.4159265358979$$
$$t_{42} = 92.6769832808989$$
$$t_{43} = 36.1283155162826$$
$$t_{44} = -39.2699081698724$$
$$t_{45} = -28.2743338823081$$
$$t_{46} = 4.71238898038469$$
$$t_{47} = 48.6946861306418$$
$$t_{48} = -72.2566310325652$$
$$t_{49} = 37.6991118430775$$
$$t_{50} = 70.6858347057703$$
$$t_{51} = -45.553093477052$$
$$t_{52} = -89.5353906273091$$
$$t_{53} = 65.9734457253857$$
$$t_{54} = 73.8274273593601$$
$$t_{55} = 20.4203522483337$$
$$t_{56} = -483.805268652828$$
$$t_{57} = -87.9645943005142$$
$$t_{58} = 1.5707963267949$$
$$t_{59} = 45.553093477052$$
$$t_{60} = 78.5398163397448$$
$$t_{61} = -6.28318530717959$$
$$t_{62} = 95.8185759344887$$
$$t_{63} = 15.707963267949$$
$$t_{64} = -20.4203522483337$$
$$t_{65} = -58.1194640914112$$
$$t_{66} = 56.5486677646163$$
$$t_{67} = 113.097335529233$$
$$t_{68} = 80.1106126665397$$
$$t_{69} = 7.85398163397448$$
$$t_{70} = 26.7035375555132$$
$$t_{71} = 29.845130209103$$
$$t_{72} = -65.9734457253857$$
$$t_{73} = 43.9822971502571$$
$$t_{74} = 14.1371669411541$$
$$t_{75} = -37.6991118430775$$
$$t_{76} = -59.6902604182061$$
$$t_{77} = -64.4026493985908$$
$$t_{78} = -83.2522053201295$$
$$t_{79} = -75.398223686155$$
$$t_{80} = 51.8362787842316$$
$$t_{81} = 100.530964914873$$
$$t_{82} = 64.4026493985908$$
$$t_{83} = 34.5575191894877$$
$$t_{84} = -73.8274273593601$$
$$t_{85} = 6.28318530717959$$
$$t_{86} = -9.42477796076938$$
$$t_{87} = -51.8362787842316$$
$$t_{88} = 67.5442420521806$$
$$t_{89} = -7.85398163397448$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{16 \cos{\left(2 t \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{16 \cos{\left(2 t \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
pi (--, 8/5) 4
3*pi (----, -8/5) 4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{32 \sin{\left(2 t \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{32 \sin{\left(2 t \right)}}{5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{8}{5}, \frac{8}{5}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{8}{5}, \frac{8}{5}\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{8}{5}, \frac{8}{5}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{8}{5}, \frac{8}{5}\right\rangle$$
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{8}{5}, \frac{8}{5}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{8}{5}, \frac{8}{5}\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5}\right) = \left\langle - \frac{8}{5}, \frac{8}{5}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{8}{5}, \frac{8}{5}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 8*sin(2*t)/5, dividida por t con t->+oo y t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5 t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5 t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5 t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5 t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$\frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5} = - \frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5}$$
- No
$$\frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5} = \frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5} = - \frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5}$$
- No
$$\frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5} = \frac{8 \sin{\left(2 t \right)}}{5}$$
- Sí
es decir, función
es
impar