Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x*(-log(2+x)+log(x))

Gráfico de la función y = x*(-log(2+x)+log(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x*(-log(2 + x) + log(x))
$$f{\left(x \right)} = x \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 2 \right)}\right)$$ 
f = x*(log(x) - log(x + 2))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 2 \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = -1.13279713971332 \cdot 10^{26}$$
$$x_{2} = -7.77912890504365 \cdot 10^{26}$$
$$x_{3} = 1.1069579504609 \cdot 10^{27}$$
$$x_{4} = 4.07471346228089 \cdot 10^{26}$$
$$x_{5} = -1.16935015684354 \cdot 10^{26}$$
$$x_{6} = -1.31660040029225 \cdot 10^{27}$$
$$x_{7} = -6.38420414751141 \cdot 10^{25}$$
$$x_{8} = -1.55605605551737 \cdot 10^{26}$$
$$x_{9} = 5.97058883213807 \cdot 10^{26}$$
$$x_{10} = 6.3260113214155 \cdot 10^{29}$$
$$x_{11} = -9.68813525783212 \cdot 10^{25}$$
$$x_{12} = 1.56480669041185 \cdot 10^{26}$$
$$x_{13} = -2.37030261054403 \cdot 10^{26}$$
$$x_{14} = 3.17153991263066 \cdot 10^{28}$$
$$x_{15} = -1.03453162219843 \cdot 10^{26}$$
$$x_{16} = -6.72788617518302 \cdot 10^{25}$$
$$x_{17} = -7.01492295762244 \cdot 10^{25}$$
$$x_{18} = 6.56917809397814 \cdot 10^{25}$$
$$x_{19} = -6.66872177850308 \cdot 10^{25}$$
$$x_{20} = 6.45446438327547 \cdot 10^{25}$$
$$x_{21} = 4.21358352830913 \cdot 10^{26}$$
$$x_{22} = -6.18555137995171 \cdot 10^{25}$$
$$x_{23} = 1.04519055914681 \cdot 10^{26}$$
$$x_{24} = -2.36573005844836 \cdot 10^{26}$$
$$x_{25} = -1.22439574410943 \cdot 10^{26}$$
$$x_{26} = 2.05689791635056 \cdot 10^{26}$$
$$x_{27} = 4.78657420269404 \cdot 10^{26}$$
$$x_{28} = 9.2289376966232 \cdot 10^{25}$$
$$x_{29} = 2.60908268274485 \cdot 10^{26}$$
$$x_{30} = -1.34880858596785 \cdot 10^{26}$$
$$x_{31} = -6.75538558498116 \cdot 10^{25}$$
$$x_{32} = -1.88749809730331 \cdot 10^{27}$$
$$x_{33} = -1.12406171092318 \cdot 10^{26}$$
$$x_{34} = -1.16199319574032 \cdot 10^{26}$$
$$x_{35} = -1.22308067563016 \cdot 10^{26}$$
$$x_{36} = -4.62894183331947 \cdot 10^{26}$$
$$x_{37} = -7.59160191006695 \cdot 10^{25}$$
$$x_{38} = 5.40503868953614 \cdot 10^{27}$$
$$x_{39} = -9.63658540627602 \cdot 10^{25}$$
$$x_{40} = -2.9986803424854 \cdot 10^{26}$$
$$x_{41} = 2.53449393482852 \cdot 10^{26}$$
$$x_{42} = -1.59046691547486 \cdot 10^{26}$$
$$x_{43} = 1.77943382412271 \cdot 10^{26}$$
$$x_{44} = 2.48358132510686 \cdot 10^{26}$$
$$x_{45} = 1.80946838380932 \cdot 10^{26}$$
$$x_{46} = 1.01624914201258 \cdot 10^{26}$$
$$x_{47} = -2.38134893039783 \cdot 10^{26}$$
$$x_{48} = -3.81525682882549 \cdot 10^{26}$$
$$x_{49} = 3.37545769033793 \cdot 10^{26}$$
$$x_{50} = -8.74955855042003 \cdot 10^{26}$$
$$x_{51} = 1.28207383495377 \cdot 10^{26}$$
$$x_{52} = -1.62390331942853 \cdot 10^{26}$$
$$x_{53} = -5.98418187053985 \cdot 10^{26}$$
$$x_{54} = 2.42915503386545 \cdot 10^{26}$$
$$x_{55} = 6.86838485758758 \cdot 10^{25}$$
$$x_{56} = -9.16294484898769 \cdot 10^{25}$$
$$x_{57} = 4.97375846021773 \cdot 10^{26}$$
$$x_{58} = 1.32272149015096 \cdot 10^{26}$$
$$x_{59} = -5.53240943603913 \cdot 10^{26}$$
$$x_{60} = -1.55719529933247 \cdot 10^{26}$$
$$x_{61} = 6.25415699847746 \cdot 10^{25}$$
$$x_{62} = 1.85064405822946 \cdot 10^{26}$$
$$x_{63} = -1.51968245892526 \cdot 10^{26}$$
$$x_{64} = -3.92247594488438 \cdot 10^{26}$$
$$x_{65} = 1.25526146319839 \cdot 10^{26}$$
$$x_{66} = 2.18284452046989 \cdot 10^{26}$$
$$x_{67} = 4.38176159482957 \cdot 10^{26}$$
$$x_{68} = -2.92664041726288 \cdot 10^{27}$$
$$x_{69} = -8.64488234757297 \cdot 10^{25}$$
$$x_{70} = 1.77519224395703 \cdot 10^{27}$$
$$x_{71} = 9.04125342039919 \cdot 10^{25}$$
$$x_{72} = 1.38584436696662 \cdot 10^{26}$$
$$x_{73} = -6.56899116570101 \cdot 10^{26}$$
$$x_{74} = -1.04904776075849 \cdot 10^{26}$$
$$x_{75} = -8.97788178108749 \cdot 10^{25}$$
$$x_{76} = -7.63458793430326 \cdot 10^{25}$$
$$x_{77} = 2.06362632724835 \cdot 10^{26}$$
$$x_{78} = -1.23541407966498 \cdot 10^{26}$$
$$x_{79} = -5.8484913674782 \cdot 10^{26}$$
$$x_{80} = 7.60153057990206 \cdot 10^{25}$$
$$x_{81} = -1.23173440960409 \cdot 10^{27}$$
$$x_{82} = 1.91018688304268 \cdot 10^{26}$$
$$x_{83} = -3.03421940951609 \cdot 10^{26}$$
$$x_{84} = -1.99757796446136 \cdot 10^{26}$$
$$x_{85} = -1.73213487194714 \cdot 10^{27}$$
$$x_{86} = 1.07481750053558 \cdot 10^{26}$$
$$x_{87} = 9.70868988529735 \cdot 10^{26}$$
$$x_{88} = -3.32676499192254 \cdot 10^{27}$$
$$x_{89} = 1.39078161704041 \cdot 10^{26}$$
$$x_{90} = -3.76883976650604 \cdot 10^{27}$$
$$x_{91} = 3.57538602738736 \cdot 10^{26}$$
$$x_{92} = -8.03876882836004 \cdot 10^{25}$$
$$x_{93} = -2.25550654234666 \cdot 10^{26}$$
$$x_{94} = 2.26667240028236 \cdot 10^{26}$$
$$x_{95} = -1.41734553659053 \cdot 10^{26}$$
$$x_{96} = 4.4441937291768 \cdot 10^{26}$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*(-log(2 + x) + log(x)).
$$0 \left(\log{\left(0 \right)} - \log{\left(2 \right)}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x \left(- \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x}\right) + \log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 2 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$x \left(\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\right) - \frac{2}{x + 2} + \frac{2}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 2 \right)}\right)\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 2 \right)}\right)\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -2$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*(-log(2 + x) + log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 2 \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 2 \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 2 \right)}\right) = - x \left(\log{\left(- x \right)} - \log{\left(2 - x \right)}\right)$$
- No
$$x \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 2 \right)}\right) = x \left(\log{\left(- x \right)} - \log{\left(2 - x \right)}\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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