Sr Examen

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log(sin(x))
Trazado el gráfico de la función/ log(sin(x))

Gráfico de la función y = log(sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = log(sin(x))
f(x)=log⁡(sin⁡(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} 
f = log(sin(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(sin⁡(x))=0\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=7.85398174556756x_{1} = 7.85398174556756
x2=39.2699074396221x_{2} = 39.2699074396221
x3=7.85398147767715x_{3} = 7.85398147767715
x4=−17.2787598626449x_{4} = -17.2787598626449
x5=−36.1283154154305x_{5} = -36.1283154154305
x6=64.402649305744x_{6} = 64.402649305744
x7=−54.9778713174705x_{7} = -54.9778713174705
x8=−4.71238851018714x_{8} = -4.71238851018714
x9=20.4203521458531x_{9} = 20.4203521458531
x10=−92.6769828388254x_{10} = -92.6769828388254
x11=−54.9778719110131x_{11} = -54.9778719110131
x12=−48.694686949957x_{12} = -48.694686949957
x13=14.1371669434725x_{13} = 14.1371669434725
x14=83.2522046592344x_{14} = 83.2522046592344
x15=39.2699074534854x_{15} = 39.2699074534854
x16=58.1194640878142x_{16} = 58.1194640878142
x17=−42.4115005591739x_{17} = -42.4115005591739
x18=51.8362789063255x_{18} = 51.8362789063255
x19=−54.9778706878326x_{19} = -54.9778706878326
x20=−73.8274273446888x_{20} = -73.8274273446888
x21=45.5530926724619x_{21} = 45.5530926724619
x22=95.8185760669056x_{22} = 95.8185760669056
x23=70.6858351446748x_{23} = 70.6858351446748
x24=39.2699086546913x_{24} = 39.2699086546913
x25=70.6858344584179x_{25} = 70.6858344584179
x26=76.9690208439152x_{26} = 76.9690208439152
x27=−61.2610570233699x_{27} = -61.2610570233699
x28=32.9867230918614x_{28} = 32.9867230918614
x29=−61.2610561822839x_{29} = -61.2610561822839
x30=−10.9955735120111x_{30} = -10.9955735120111
x31=−92.6769840888992x_{31} = -92.6769840888992
x32=−98.9601678624104x_{32} = -98.9601678624104
x33=−80.1106125767506x_{33} = -80.1106125767506
x34=−67.5442421737401x_{34} = -67.5442421737401
x35=95.8185757390985x_{35} = 95.8185757390985
x36=−23.5619450139675x_{36} = -23.5619450139675
x37=83.2522055855063x_{37} = 83.2522055855063
x38=−42.4115015246508x_{38} = -42.4115015246508
x39=32.9867236651869x_{39} = 32.9867236651869
x40=89.5353909237568x_{40} = 89.5353909237568
x41=−29.8451302007713x_{41} = -29.8451302007713
x42=58.119464370396x_{42} = 58.119464370396
x43=76.9690209763474x_{43} = 76.9690209763474
x44=−4.71238974981597x_{44} = -4.71238974981597
x45=14.1371671149845x_{45} = 14.1371671149845
x46=76.9690195814988x_{46} = 76.9690195814988
x47=−73.8274273885517x_{47} = -73.8274273885517
x48=−48.6946869113465x_{48} = -48.6946869113465
x49=−29.8451302446469x_{49} = -29.8451302446469
x50=−54.9778705207315x_{50} = -54.9778705207315
x51=−61.2610552210018x_{51} = -61.2610552210018
x52=64.4026494793175x_{52} = 64.4026494793175
x53=26.7035372979479x_{53} = 26.7035372979479
x54=58.1194640425023x_{54} = 58.1194640425023
x55=45.5530919949765x_{55} = 45.5530919949765
x56=83.2522058199769x_{56} = 83.2522058199769
x57=−36.1283156556098x_{57} = -36.1283156556098
x58=−29.8451300946193x_{58} = -29.8451300946193
x59=−10.9955747464857x_{59} = -10.9955747464857
x60=1.57079660167231x_{60} = 1.57079660167231
x61=−23.5619447959101x_{61} = -23.5619447959101
x62=1.57079557309815x_{62} = 1.57079557309815
x63=14.1371668991051x_{63} = 14.1371668991051
x64=−4.71238973521995x_{64} = -4.71238973521995
x65=89.5353892520407x_{65} = 89.5353892520407
x66=51.8362786093149x_{66} = 51.8362786093149
x67=26.7035380336909x_{67} = 26.7035380336909
x68=45.5530937626454x_{68} = 45.5530937626454
x69=−10.9955741211687x_{69} = -10.9955741211687
x70=−17.2787590751963x_{70} = -17.2787590751963
x71=32.9867224176774x_{71} = 32.9867224176774
x72=−10.9955733481573x_{72} = -10.9955733481573
x73=−86.3937977199047x_{73} = -86.3937977199047
x74=20.4203523413041x_{74} = 20.4203523413041
x75=−48.6946856746846x_{75} = -48.6946856746846
x76=−92.676984146129x_{76} = -92.676984146129
x77=−98.9601690759292x_{77} = -98.9601690759292
x78=−73.827427279653x_{78} = -73.827427279653
x79=−80.1106127903609x_{79} = -80.1106127903609
x80=−98.9601685005998x_{80} = -98.9601685005998
x81=32.9867238176799x_{81} = 32.9867238176799
x82=89.5353897747913x_{82} = 89.5353897747913
x83=83.2522046133019x_{83} = 83.2522046133019
x84=−67.5442419322395x_{84} = -67.5442419322395
x85=−86.3937986220237x_{85} = -86.3937986220237
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(sin(x)).
log⁡(sin⁡(0))\log{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 0)
 2     

 3*pi       
(----, pi*I)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(1+cos⁡2(x)sin⁡2(x))=0- (1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(sin⁡(x))=log⁡(−sin⁡(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}
- No
log⁡(sin⁡(x))=−log⁡(−sin⁡(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = log(sin(x))
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