Sr Examen

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sin(x)-cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ sin(x)-cos(x)

Gráfico de la función y = sin(x)-cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x) - cos(x)
f(x)=sin⁡(x)−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} 
f = sin(x) - cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)−cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=10.2101761241668x_{1} = 10.2101761241668
x2=101.316363078271x_{2} = 101.316363078271
x3=−55.7632696012188x_{3} = -55.7632696012188
x4=−93.4623814442964x_{4} = -93.4623814442964
x5=−43.1968989868597x_{5} = -43.1968989868597
x6=−46.3384916404494x_{6} = -46.3384916404494
x7=−96.6039740978861x_{7} = -96.6039740978861
x8=1672.11268987317x_{8} = 1672.11268987317
x9=−74.6128255227576x_{9} = -74.6128255227576
x10=−5.49778714378214x_{10} = -5.49778714378214
x11=51.0508806208341x_{11} = 51.0508806208341
x12=95.0331777710912x_{12} = 95.0331777710912
x13=3.92699081698724x_{13} = 3.92699081698724
x14=−18.0641577581413x_{14} = -18.0641577581413
x15=−65.1880475619882x_{15} = -65.1880475619882
x16=32.2013246992954x_{16} = 32.2013246992954
x17=7.06858347057703x_{17} = 7.06858347057703
x18=−30.6305283725005x_{18} = -30.6305283725005
x19=−36.9137136796801x_{19} = -36.9137136796801
x20=−62.0464549083984x_{20} = -62.0464549083984
x21=22.776546738526x_{21} = 22.776546738526
x22=−52.621676947629x_{22} = -52.621676947629
x23=19.6349540849362x_{23} = 19.6349540849362
x24=−11.7809724509617x_{24} = -11.7809724509617
x25=44.7676953136546x_{25} = 44.7676953136546
x26=−24.3473430653209x_{26} = -24.3473430653209
x27=−14.9225651045515x_{27} = -14.9225651045515
x28=−49.4800842940392x_{28} = -49.4800842940392
x29=−84.037603483527x_{29} = -84.037603483527
x30=54.1924732744239x_{30} = 54.1924732744239
x31=88.7499924639117x_{31} = 88.7499924639117
x32=38.484510006475x_{32} = 38.484510006475
x33=−99.7455667514759x_{33} = -99.7455667514759
x34=69.9004365423729x_{34} = 69.9004365423729
x35=98.174770424681x_{35} = 98.174770424681
x36=63.6172512351933x_{36} = 63.6172512351933
x37=−8.63937979737193x_{37} = -8.63937979737193
x38=82.4668071567321x_{38} = 82.4668071567321
x39=−71.4712328691678x_{39} = -71.4712328691678
x40=−21.2057504117311x_{40} = -21.2057504117311
x41=−68.329640215578x_{41} = -68.329640215578
x42=41.6261026600648x_{42} = 41.6261026600648
x43=76.1836218495525x_{43} = 76.1836218495525
x44=60.4756585816035x_{44} = 60.4756585816035
x45=−58.9048622548086x_{45} = -58.9048622548086
x46=66.7588438887831x_{46} = 66.7588438887831
x47=35.3429173528852x_{47} = 35.3429173528852
x48=0.785398163397448x_{48} = 0.785398163397448
x49=−80.8960108299372x_{49} = -80.8960108299372
x50=−77.7544181763474x_{50} = -77.7544181763474
x51=−90.3207887907066x_{51} = -90.3207887907066
x52=79.3252145031423x_{52} = 79.3252145031423
x53=−87.1791961371168x_{53} = -87.1791961371168
x54=−2.35619449019234x_{54} = -2.35619449019234
x55=57.3340659280137x_{55} = 57.3340659280137
x56=−27.4889357189107x_{56} = -27.4889357189107
x57=85.6083998103219x_{57} = 85.6083998103219
x58=25.9181393921158x_{58} = 25.9181393921158
x59=−40.0553063332699x_{59} = -40.0553063332699
x60=13.3517687777566x_{60} = 13.3517687777566
x61=16.4933614313464x_{61} = 16.4933614313464
x62=−228.550865548657x_{62} = -228.550865548657
x63=−33.7721210260903x_{63} = -33.7721210260903
x64=73.0420291959627x_{64} = 73.0420291959627
x65=29.0597320457056x_{65} = 29.0597320457056
x66=47.9092879672443x_{66} = 47.9092879672443
x67=91.8915851175014x_{67} = 91.8915851175014
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) - cos(x).
−cos⁡(0)+sin⁡(0)- \cos{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)+cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      ___ 
(----, -\/ 2 )
  4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)+cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)−cos⁡(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)−cos⁡(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) - cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)−cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)−cos⁡(x)=−sin⁡(x)−cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
- No
sin⁡(x)−cos⁡(x)=sin⁡(x)+cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x)-cos(x)
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