Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinh(x^2-5x)

Gráfico de la función y = sinh(x^2-5x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / 2      \
f(x) = sinh\x  - 5*x/
$$f{\left(x \right)} = \sinh{\left(x^{2} - 5 x \right)}$$ 
f = sinh(x^2 - 5*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sinh{\left(x^{2} - 5 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 5$$
Solución numérica
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sinh(x^2 - 5*x).
$$\sinh{\left(0^{2} - 0 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(2 x - 5\right) \cosh{\left(x^{2} - 5 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2.5$$
Signos de extremos en los puntos:
(2.5, -259.005447107103)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2.5$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2.5, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2.5\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(2 x - 5\right)^{2} \sinh{\left(x \left(x - 5\right) \right)} + 2 \cosh{\left(x \left(x - 5\right) \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4.9837005338814$$
$$x_{2} = 0.0162994661186029$$
$$x_{3} = 1.79288605557416$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[4.9837005338814, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0.0162994661186029, 1.79288605557416\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sinh{\left(x^{2} - 5 x \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sinh{\left(x^{2} - 5 x \right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sinh(x^2 - 5*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sinh{\left(x^{2} - 5 x \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left(x^{2} - 5 x \right)}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sinh{\left(x^{2} - 5 x \right)} = \sinh{\left(x^{2} + 5 x \right)}$$
- No
$$\sinh{\left(x^{2} - 5 x \right)} = - \sinh{\left(x^{2} + 5 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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