Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinh(x)/sin(x)

Gráfico de la función y = sinh(x)/sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       sinh(x)
f(x) = -------
        sin(x)
f(x)=sinh⁡(x)sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\sinh{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} 
f = sinh(x)/sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500000500000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sinh⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\sinh{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sinh(x)/sin(x).
sinh⁡(0)sin⁡(0)\frac{\sinh{\left(0 \right)}}{\sin{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cosh⁡(x)sin⁡(x)−cos⁡(x)sinh⁡(x)sin⁡2(x)=0\frac{\cosh{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=7.06858274562873x_{1} = 7.06858274562873
x2=−19.6349540849362x_{2} = -19.6349540849362
x3=10.210176122813x_{3} = 10.210176122813
x4=−13.3517687777541x_{4} = -13.3517687777541
x5=25.9181393921158x_{5} = 25.9181393921158
x6=−7.06858274562873x_{6} = -7.06858274562873
x7=−29.0597320457056x_{7} = -29.0597320457056
x8=13.3517687777541x_{8} = 13.3517687777541
x9=16.4933614313464x_{9} = 16.4933614313464
x10=3.92660231204792x_{10} = 3.92660231204792
x11=−22.776546738526x_{11} = -22.776546738526
x12=−16.4933614313464x_{12} = -16.4933614313464
x13=22.776546738526x_{13} = 22.776546738526
x14=−2.77708192790353⋅10−14x_{14} = -2.77708192790353 \cdot 10^{-14}
x15=−10.210176122813x_{15} = -10.210176122813
x16=19.6349540849362x_{16} = 19.6349540849362
x17=−25.9181393921158x_{17} = -25.9181393921158
x18=−4.75674140913453⋅10−15x_{18} = -4.75674140913453 \cdot 10^{-15}
x19=−3.92660231204792x_{19} = -3.92660231204792
x20=29.0597320457056x_{20} = 29.0597320457056
Signos de extremos en los puntos:
(7.068582745628732, 830.484408584911)

(-19.634954084936208, 238142667.342237)

(10.21017612281303, -19217.9983414068)

(-13.351768777754094, 444717.79323669)

(25.918139392115794, 127523411186.178)

(-7.068582745628732, 830.484408584911)

(-29.059732045705587, -2950980061742.87)

(13.351768777754094, 444717.79323669)

(16.49336143134641, -10291077.7616441)

(3.926602312047919, -35.8745739207592)

(-22.776546738526, -5510786267.71692)

(-16.49336143134641, -10291077.7616441)

(22.776546738526, -5510786267.71692)

(-2.7770819279035254e-14, 1)

(-10.21017612281303, -19217.9983414068)

(19.634954084936208, 238142667.342237)

(-25.918139392115794, 127523411186.178)

(-4.7567414091345295e-15, 1)

(-3.926602312047919, -35.8745739207592)

(29.059732045705587, -2950980061742.87)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=7.06858274562873x_{1} = 7.06858274562873
x2=−19.6349540849362x_{2} = -19.6349540849362
x3=−13.3517687777541x_{3} = -13.3517687777541
x4=25.9181393921158x_{4} = 25.9181393921158
x5=−7.06858274562873x_{5} = -7.06858274562873
x6=13.3517687777541x_{6} = 13.3517687777541
x7=−2.77708192790353⋅10−14x_{7} = -2.77708192790353 \cdot 10^{-14}
x8=19.6349540849362x_{8} = 19.6349540849362
x9=−25.9181393921158x_{9} = -25.9181393921158
x10=−4.75674140913453⋅10−15x_{10} = -4.75674140913453 \cdot 10^{-15}
Puntos máximos de la función:
x10=10.210176122813x_{10} = 10.210176122813
x10=−29.0597320457056x_{10} = -29.0597320457056
x10=16.4933614313464x_{10} = 16.4933614313464
x10=3.92660231204792x_{10} = 3.92660231204792
x10=−22.776546738526x_{10} = -22.776546738526
x10=−16.4933614313464x_{10} = -16.4933614313464
x10=22.776546738526x_{10} = 22.776546738526
x10=−10.210176122813x_{10} = -10.210176122813
x10=−3.92660231204792x_{10} = -3.92660231204792
x10=29.0597320457056x_{10} = 29.0597320457056
Decrece en los intervalos
[25.9181393921158,∞)\left[25.9181393921158, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−25.9181393921158]\left(-\infty, -25.9181393921158\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+2cos⁡2(x)sin⁡2(x))sinh⁡(x)+sinh⁡(x)−2cos⁡(x)cosh⁡(x)sin⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sinh{\left(x \right)} + \sinh{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(sinh⁡(x)sin⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sinh{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(sinh⁡(x)sin⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sinh(x)/sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(sinh⁡(x)xsin⁡(x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sinh{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(sinh⁡(x)xsin⁡(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sinh⁡(x)sin⁡(x)=sinh⁡(x)sin⁡(x)\frac{\sinh{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{\sinh{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}
- No
sinh⁡(x)sin⁡(x)=−sinh⁡(x)sin⁡(x)\frac{\sinh{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = - \frac{\sinh{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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