Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinh(tanh(x))

Gráfico de la función y = sinh(tanh(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sinh(tanh(x))
f(x)=sinh⁡(tanh⁡(x))f{\left(x \right)} = \sinh{\left(\tanh{\left(x \right)} \right)} 
f = sinh(tanh(x))
Gráfico de la función
-5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.02.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sinh⁡(tanh⁡(x))=0\sinh{\left(\tanh{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sinh(tanh(x)).
sinh⁡(tanh⁡(0))\sinh{\left(\tanh{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1−tanh⁡2(x))cosh⁡(tanh⁡(x))=0\left(1 - \tanh^{2}{\left(x \right)}\right) \cosh{\left(\tanh{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
((tanh⁡2(x)−1)sinh⁡(tanh⁡(x))+2cosh⁡(tanh⁡(x))tanh⁡(x))(tanh⁡2(x)−1)=0\left(\left(\tanh^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \sinh{\left(\tanh{\left(x \right)} \right)} + 2 \cosh{\left(\tanh{\left(x \right)} \right)} \tanh{\left(x \right)}\right) \left(\tanh^{2}{\left(x \right)} - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−70x_{1} = -70
x2=−26.3661315069563x_{2} = -26.3661315069563
x3=62x_{3} = 62
x4=60x_{4} = 60
x5=44x_{5} = 44
x6=−40x_{6} = -40
x7=90x_{7} = 90
x8=−31.976245996576x_{8} = -31.976245996576
x9=50x_{9} = 50
x10=−46x_{10} = -46
x11=−84x_{11} = -84
x12=94x_{12} = 94
x13=−76x_{13} = -76
x14=−90x_{14} = -90
x15=−34x_{15} = -34
x16=−36x_{16} = -36
x17=−58x_{17} = -58
x18=−94x_{18} = -94
x19=−88x_{19} = -88
x20=58x_{20} = 58
x21=82x_{21} = 82
x22=−98x_{22} = -98
x23=−100x_{23} = -100
x24=84x_{24} = 84
x25=22.6753972443119x_{25} = 22.6753972443119
x26=31.8870724794909x_{26} = 31.8870724794909
x27=78x_{27} = 78
x28=−68x_{28} = -68
x29=−56x_{29} = -56
x30=56x_{30} = 56
x31=16.6754218978551x_{31} = 16.6754218978551
x32=92x_{32} = 92
x33=70x_{33} = 70
x34=24.6753973204929x_{34} = 24.6753973204929
x35=−54x_{35} = -54
x36=−96x_{36} = -96
x37=38x_{37} = 38
x38=28.6760419286256x_{38} = 28.6760419286256
x39=96x_{39} = 96
x40=30.6502781482389x_{40} = 30.6502781482389
x41=−74x_{41} = -74
x42=0x_{42} = 0
x43=72x_{43} = 72
x44=32.000015780841x_{44} = 32.000015780841
x45=42x_{45} = 42
x46=−50x_{46} = -50
x47=−72x_{47} = -72
x48=−24.3661326142577x_{48} = -24.3661326142577
x49=−82x_{49} = -82
x50=80x_{50} = 80
x51=74x_{51} = 74
x52=−31.5673076923077x_{52} = -31.5673076923077
x53=−52x_{53} = -52
x54=−48x_{54} = -48
x55=−32.2038153090912x_{55} = -32.2038153090912
x56=−64x_{56} = -64
x57=20.6753972494872x_{57} = 20.6753972494872
x58=−60x_{58} = -60
x59=86x_{59} = 86
x60=32.468253968254x_{60} = 32.468253968254
x61=−32x_{61} = -32
x62=100x_{62} = 100
x63=98x_{63} = 98
x64=−86x_{64} = -86
x65=−38x_{65} = -38
x66=−62x_{66} = -62
x67=−80x_{67} = -80
x68=48x_{68} = 48
x69=31.7787220654169x_{69} = 31.7787220654169
x70=−30.3746613927776x_{70} = -30.3746613927776
x71=−44x_{71} = -44
x72=−66x_{72} = -66
x73=18.6753976927522x_{73} = 18.6753976927522
x74=26.6753908017134x_{74} = 26.6753908017134
x75=−78x_{75} = -78
x76=−16.3661781103476x_{76} = -16.3661781103476
x77=−20.3661326061554x_{77} = -20.3661326061554
x78=−28.3660709532537x_{78} = -28.3660709532537
x79=−31.3350186083881x_{79} = -31.3350186083881
x80=52x_{80} = 52
x81=32x_{81} = 32
x82=−92x_{82} = -92
x83=−22.36613259083x_{83} = -22.36613259083
x84=64x_{84} = 64
x85=68x_{85} = 68
x86=54x_{86} = 54
x87=40x_{87} = 40
x88=−31.7529322617035x_{88} = -31.7529322617035
x89=36x_{89} = 36
x90=66x_{90} = 66
x91=34x_{91} = 34
x92=76x_{92} = 76
x93=31.7312936927894x_{93} = 31.7312936927894
x94=−42x_{94} = -42
x95=88x_{95} = 88
x96=46x_{96} = 46
x97=−18.3661334245818x_{97} = -18.3661334245818

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sinh⁡(tanh⁡(x))=−−1+e22e\lim_{x \to -\infty} \sinh{\left(\tanh{\left(x \right)} \right)} = - \frac{-1 + e^{2}}{2 e}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−−1+e22ey = - \frac{-1 + e^{2}}{2 e}
lim⁡x→∞sinh⁡(tanh⁡(x))=−1+e22e\lim_{x \to \infty} \sinh{\left(\tanh{\left(x \right)} \right)} = \frac{-1 + e^{2}}{2 e}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−1+e22ey = \frac{-1 + e^{2}}{2 e}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sinh(tanh(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sinh⁡(tanh⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sinh{\left(\tanh{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sinh⁡(tanh⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sinh{\left(\tanh{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sinh⁡(tanh⁡(x))=−sinh⁡(tanh⁡(x))\sinh{\left(\tanh{\left(x \right)} \right)} = - \sinh{\left(\tanh{\left(x \right)} \right)}
- No
sinh⁡(tanh⁡(x))=sinh⁡(tanh⁡(x))\sinh{\left(\tanh{\left(x \right)} \right)} = \sinh{\left(\tanh{\left(x \right)} \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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