Sr Examen

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sin(5*x)*e^x
Trazado el gráfico de la función/ sin(5*x)*e^x

Gráfico de la función y = sin(5*x)*e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 x
f(x) = sin(5*x)*E
f(x)=exsin⁡(5x)f{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(5 x \right)} 
f = E^x*sin(5*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exsin⁡(5x)=0e^{x} \sin{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−4π5x_{2} = - \frac{4 \pi}{5}
x3=−3π5x_{3} = - \frac{3 \pi}{5}
x4=−2π5x_{4} = - \frac{2 \pi}{5}
x5=−π5x_{5} = - \frac{\pi}{5}
x6=π5x_{6} = \frac{\pi}{5}
x7=2π5x_{7} = \frac{2 \pi}{5}
x8=3π5x_{8} = \frac{3 \pi}{5}
x9=4π5x_{9} = \frac{4 \pi}{5}
x10=πx_{10} = \pi
Solución numérica
x1=−59.6902604182061x_{1} = -59.6902604182061
x2=−13.8230076757951x_{2} = -13.8230076757951
x3=−11.9380520836412x_{3} = -11.9380520836412
x4=30.159289474462x_{4} = 30.159289474462
x5=−25.7610597594363x_{5} = -25.7610597594363
x6=−30.159289474462x_{6} = -30.159289474462
x7=−37.6991118430775x_{7} = -37.6991118430775
x8=−81.6814089933346x_{8} = -81.6814089933346
x9=−89.8495498926681x_{9} = -89.8495498926681
x10=−21.9911485751286x_{10} = -21.9911485751286
x11=−15.707963267949x_{11} = -15.707963267949
x12=4.39822971502571x_{12} = 4.39822971502571
x13=−32.0442450666159x_{13} = -32.0442450666159
x14=12.5663706143592x_{14} = 12.5663706143592
x15=−55.9203492338983x_{15} = -55.9203492338983
x16=−87.9645943005142x_{16} = -87.9645943005142
x17=−65.9734457253857x_{17} = -65.9734457253857
x18=8.16814089933346x_{18} = 8.16814089933346
x19=−98.0176907920015x_{19} = -98.0176907920015
x20=−96.1327351998477x_{20} = -96.1327351998477
x21=−94.2477796076938x_{21} = -94.2477796076938
x22=6.28318530717959x_{22} = 6.28318530717959
x23=11.9380520836412x_{23} = 11.9380520836412
x24=−54.0353936417444x_{24} = -54.0353936417444
x25=−85.4513201776424x_{25} = -85.4513201776424
x26=−1.88495559215388x_{26} = -1.88495559215388
x27=−49.6371639267187x_{27} = -49.6371639267187
x28=0x_{28} = 0
x29=−42.7256600888212x_{29} = -42.7256600888212
x30=−57.8053048260522x_{30} = -57.8053048260522
x31=−67.8584013175395x_{31} = -67.8584013175395
x32=−43.9822971502571x_{32} = -43.9822971502571
x33=−47.7522083345649x_{33} = -47.7522083345649
x34=−79.7964534011807x_{34} = -79.7964534011807
x35=20.1061929829747x_{35} = 20.1061929829747
x36=−74.1415866247191x_{36} = -74.1415866247191
x37=−33.9292006587698x_{37} = -33.9292006587698
x38=−3.76991118430775x_{38} = -3.76991118430775
x39=−52.1504380495906x_{39} = -52.1504380495906
x40=23.8761041672824x_{40} = 23.8761041672824
x41=−27.6460153515902x_{41} = -27.6460153515902
x42=−69.7433569096934x_{42} = -69.7433569096934
x43=18.2212373908208x_{43} = 18.2212373908208
x44=−77.9114978090269x_{44} = -77.9114978090269
x45=−45.867252742411x_{45} = -45.867252742411
x46=−8.16814089933346x_{46} = -8.16814089933346
x47=25.1327412287183x_{47} = 25.1327412287183
x48=−42.0973415581032x_{48} = -42.0973415581032
x49=16.3362817986669x_{49} = 16.3362817986669
x50=−76.026542216873x_{50} = -76.026542216873
x51=−86.0796387083603x_{51} = -86.0796387083603
x52=−5.65486677646163x_{52} = -5.65486677646163
x53=−23.8761041672824x_{53} = -23.8761041672824
x54=1.88495559215388x_{54} = 1.88495559215388
x55=−64.0884901332318x_{55} = -64.0884901332318
x56=10.0530964914873x_{56} = 10.0530964914873
x57=28.2743338823081x_{57} = 28.2743338823081
x58=−63.4601716025138x_{58} = -63.4601716025138
x59=21.9911485751286x_{59} = 21.9911485751286
x60=−74.7699051554371x_{60} = -74.7699051554371
x61=−35.8141562509236x_{61} = -35.8141562509236
x62=−10.0530964914873x_{62} = -10.0530964914873
x63=−99.9026463841554x_{63} = -99.9026463841554
x64=−20.1061929829747x_{64} = -20.1061929829747
x65=−91.734505484822x_{65} = -91.734505484822
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(5*x)*E^x.
e0sin⁡(0⋅5)e^{0} \sin{\left(0 \cdot 5 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
exsin⁡(5x)+5excos⁡(5x)=0e^{x} \sin{\left(5 x \right)} + 5 e^{x} \cos{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(5)5x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{5}
Signos de extremos en los puntos:
                       -atan(5)  
                       --------- 
                 ____      5     
 -atan(5)   -5*\/ 26 *e          
(---------, --------------------)
     5               26


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−atan⁡(5)5x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{5}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−atan⁡(5)5,∞)\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{5}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−atan⁡(5)5]\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{5}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(exsin⁡(5x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \sin{\left(5 x \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exsin⁡(5x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \sin{\left(5 x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(5*x)*E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(exsin⁡(5x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(exsin⁡(5x)x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exsin⁡(5x)=−e−xsin⁡(5x)e^{x} \sin{\left(5 x \right)} = - e^{- x} \sin{\left(5 x \right)}
- No
exsin⁡(5x)=e−xsin⁡(5x)e^{x} \sin{\left(5 x \right)} = e^{- x} \sin{\left(5 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(5*x)*e^x
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