Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{6} = \frac{3 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
___
-3*pi 1 2*\/ 2
(-----, - - -------)
4 2 3
___
-2*pi -\/ 3
(-----, -------)
3 4
___
-pi 1 2*\/ 2
(----, - - - -------)
4 2 3
___
pi 1 2*\/ 2
(--, - + -------)
4 2 3
___
2*pi \/ 3
(----, -----)
3 4
___
3*pi 1 2*\/ 2
(----, - - + -------)
4 2 3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]$$