Sr Examen

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sin(x)+1/2*sin(2*x)+1/3*sin(3*x)
Trazado el gráfico de la función/ sin(x)+1/2*sin(2*x)+1/3*sin(3*x)

Gráfico de la función y = sin(x)+1/2*sin(2*x)+1/3*sin(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                sin(2*x)   sin(3*x)
f(x) = sin(x) + -------- + --------
                   2          3
f(x)=(sin⁡(x)+sin⁡(2x)2)+sin⁡(3x)3f{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} 
f = sin(x) + sin(2*x)/2 + sin(3*x)/3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) + sin(2*x)/2 + sin(3*x)/3.
(sin⁡(0)+sin⁡(0⋅2)2)+sin⁡(0⋅3)3\left(\sin{\left(0 \right)} + \frac{\sin{\left(0 \cdot 2 \right)}}{2}\right) + \frac{\sin{\left(0 \cdot 3 \right)}}{3}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)+cos⁡(2x)+cos⁡(3x)=0\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
x3=−π4x_{3} = - \frac{\pi}{4}
x4=π4x_{4} = \frac{\pi}{4}
x5=2π3x_{5} = \frac{2 \pi}{3}
x6=3π4x_{6} = \frac{3 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
                ___ 
 -3*pi  1   2*\/ 2  
(-----, - - -------)
   4    2      3    

           ___  
 -2*pi  -\/ 3   
(-----, -------)
   3       4    

                 ___ 
 -pi     1   2*\/ 2  
(----, - - - -------)
  4      2      3    

             ___ 
 pi  1   2*\/ 2  
(--, - + -------)
 4   2      3    

         ___ 
 2*pi  \/ 3  
(----, -----)
  3      4   

                 ___ 
 3*pi    1   2*\/ 2  
(----, - - + -------)
  4      2      3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=2π3x_{3} = \frac{2 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x3=−2π3x_{3} = - \frac{2 \pi}{3}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x3=3π4x_{3} = \frac{3 \pi}{4}
Decrece en los intervalos
[2π3,∞)\left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−3π4]\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)+2sin⁡(2x)+3sin⁡(3x))=0- (\sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \sin{\left(3 x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=i(log⁡(6)−log⁡(−1+7−2i7+14))x_{3} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(-1 + \sqrt{7} - \sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{7} + 14} \right)}\right)
x4=−ilog⁡(−16+76+i36−(1−7)26)x_{4} = - i \log{\left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{7}}{6} + \frac{i \sqrt{36 - \left(1 - \sqrt{7}\right)^{2}}}{6} \right)}
x5=−ilog⁡(−76−16−2i14−76)x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{7}}{6} - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{14 - \sqrt{7}}}{6} \right)}
x6=−ilog⁡(−76−16+2i14−76)x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{7}}{6} - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{14 - \sqrt{7}}}{6} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−atan⁡(27+14−1+7)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{7} + 14}}{-1 + \sqrt{7}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(x)+sin⁡(2x)2)+sin⁡(3x)3)=⟨−116,116⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{11}{6}, \frac{11}{6}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−116,116⟩y = \left\langle - \frac{11}{6}, \frac{11}{6}\right\rangle
lim⁡x→∞((sin⁡(x)+sin⁡(2x)2)+sin⁡(3x)3)=⟨−116,116⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{11}{6}, \frac{11}{6}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−116,116⟩y = \left\langle - \frac{11}{6}, \frac{11}{6}\right\rangle
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(sin⁡(x)+sin⁡(2x)2)+sin⁡(3x)3=−sin⁡(x)−sin⁡(2x)2−sin⁡(3x)3\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = - \sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}
- No
(sin⁡(x)+sin⁡(2x)2)+sin⁡(3x)3=sin⁡(x)+sin⁡(2x)2+sin⁡(3x)3\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x)+1/2*sin(2*x)+1/3*sin(3*x)
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