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Resolución de integrales/ sin(x)/ log(sin(x))

Integral de log(sin(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |  log(sin(x)) dx
 |                
/                 
0
∫01log⁡(sin⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\, dx 
Integral(log(sin(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(sin⁡(x))u{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

    Pero la integral

    ∫xcos⁡(x)sin⁡(x) dx\int \frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx

  3. Ahora simplificar:

    xlog⁡(sin⁡(x))−∫xtan⁡(x) dxx \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx

  4. Añadimos la constante de integración:

    xlog⁡(sin⁡(x))−∫xtan⁡(x) dx+constantx \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xlog⁡(sin⁡(x))−∫xtan⁡(x) dx+constantx \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \int \frac{x}{\tan{\left(x \right)}}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                          /                           
  /                      |                            
 |                       | x*cos(x)                   
 | log(sin(x)) dx = C -  | -------- dx + x*log(sin(x))
 |                       |  sin(x)                    
/                        |                            
                        /
∫log⁡(sin⁡(x)) dx=C+xlog⁡(sin⁡(x))−∫xcos⁡(x)sin⁡(x) dx\int \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\, dx = C + x \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \int \frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
  1               
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 |  log(sin(x)) dx
 |                
/                 
0
∫01log⁡(sin⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\, dx 
=
= 
  1               
  /               
 |                
 |  log(sin(x)) dx
 |                
/                 
0
∫01log⁡(sin⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\, dx 
Integral(log(sin(x)), (x, 0, 1))
Respuesta numérica [src] 
-1.05672020599159
-1.05672020599159

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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