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Resolución de integrales/ logx/x/ logx/x^a

Integral de logx/x^a dx

Solución

Ha introducido [src]

 oo          
  /          
 |           
 |  log(x)   
 |  ------ dx
 |     a     
 |    x      
 |           
/            
1

$$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{a}}\, dx$$

Integral(log(x)/x^a, (x, 1, oo))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{- a}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
  
  $\int x^{- a}\, dx = \begin{cases} \frac{x^{1 - a}}{1 - a} & \text{for}\: a \neq 1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}$
Ahora resolvemos podintegral.
No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

Pero la integral

$\begin{cases} \frac{\begin{cases} - \frac{x}{a x^{a} - x^{a}} & \text{for}\: a \neq 1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}}{1 - a} & \text{for}\: a > -\infty \wedge a < \infty \wedge a \neq 1 \\\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} & \text{otherwese} \end{cases}$
Ahora simplificar:

$\begin{cases} \frac{x^{1 - a} \left(- a - \left(a - 1\right)^{2} \log{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(a - 1\right)^{3}} & \text{for}\: a > -\infty \wedge a < \infty \wedge a \neq 1 \\\frac{\left(- 2 x^{1 - a} + \left(1 - a\right) \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)}}{2 \left(a - 1\right)} & \text{for}\: a \neq 1 \\\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} & \text{otherwese} \end{cases}$
Añadimos la constante de integración:

$\begin{cases} \frac{x^{1 - a} \left(- a - \left(a - 1\right)^{2} \log{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(a - 1\right)^{3}} & \text{for}\: a > -\infty \wedge a < \infty \wedge a \neq 1 \\\frac{\left(- 2 x^{1 - a} + \left(1 - a\right) \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)}}{2 \left(a - 1\right)} & \text{for}\: a \neq 1 \\\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{x^{1 - a} \left(- a - \left(a - 1\right)^{2} \log{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(a - 1\right)^{3}} & \text{for}\: a > -\infty \wedge a < \infty \wedge a \neq 1 \\\frac{\left(- 2 x^{1 - a} + \left(1 - a\right) \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)}}{2 \left(a - 1\right)} & \text{for}\: a \neq 1 \\\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                   ///    -x                                                   \                               
                   |||-----------  for a != 1                                  |                               
                   |||   a      a                                              |                               
                   ||<- x  + a*x                                               |                               
  /                |||                                                         |   // 1 - a            \       
 |                 |||  log(x)     otherwise                                   |   ||x                 |       
 | log(x)          ||\                                                         |   ||------  for a != 1|       
 | ------ dx = C - |<------------------------  for And(a > -oo, a < oo, a != 1)| + |<1 - a             |*log(x)
 |    a            ||         1 - a                                            |   ||                  |       
 |   x             ||                                                          |   ||log(x)  otherwise |       
 |                 ||           2                                              |   \\                  /       
/                  ||        log (x)                                           |                               
                   ||        -------                      otherwise            |                               
                   ||           2                                              |                               
                   \\                                                          /

$$\int \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{a}}\, dx = C + \left(\begin{cases} \frac{x^{1 - a}}{1 - a} & \text{for}\: a \neq 1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases}\right) \log{\left(x \right)} - \begin{cases} \frac{\begin{cases} - \frac{x}{a x^{a} - x^{a}} & \text{for}\: a \neq 1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases}}{1 - a} & \text{for}\: a > -\infty \wedge a < \infty \wedge a \neq 1 \\\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} & \text{otherwise} \end{cases}$$

Simplificar

Respuesta [src]

/        1                       
|    ---------      for re(a) > 1
|            2                   
|    (-1 + a)                    
|                                
| oo                             
<  /                             
| |                              
| |   -a                         
| |  x  *log(x) dx    otherwise  
| |                              
|/                               
\1

$$\begin{cases} \frac{1}{\left(a - 1\right)^{2}} & \text{for}\: \operatorname{re}{\left(a\right)} > 1 \\\int\limits_{1}^{\infty} x^{- a} \log{\left(x \right)}\, dx & \text{otherwise} \end{cases}$$

/        1                       
|    ---------      for re(a) > 1
|            2                   
|    (-1 + a)                    
|                                
| oo                             
<  /                             
| |                              
| |   -a                         
| |  x  *log(x) dx    otherwise  
| |                              
|/                               
\1

$$\begin{cases} \frac{1}{\left(a - 1\right)^{2}} & \text{for}\: \operatorname{re}{\left(a\right)} > 1 \\\int\limits_{1}^{\infty} x^{- a} \log{\left(x \right)}\, dx & \text{otherwise} \end{cases}$$

Piecewise(((-1 + a)^(-2), re(a) > 1), (Integral(x^(-a)*log(x), (x, 1, oo)), True))

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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Límites de integración:

Gráfico:

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Solución