Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{24 x \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} - \frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} + 1\right)}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{24 x \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} - \frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} + 1\right)}{x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{24 x \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} - \frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} + 1\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$