Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x}{x - 3} - \frac{x^{2} - 1}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{2} + 3$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2\
___ | / ___\ |
___ -\/ 2 *\-1 + \3 - 2*\/ 2 / /
(3 - 2*\/ 2, -----------------------------)
4
/ 2\
___ | / ___\ |
___ \/ 2 *\-1 + \3 + 2*\/ 2 / /
(3 + 2*\/ 2, ---------------------------)
4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \sqrt{2} + 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3 - 2 \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - 2 \sqrt{2}\right] \cup \left[2 \sqrt{2} + 3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[3 - 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 3\right]$$